Chapitres
- 01. Fonctions exponentielles
- 02. Limites usuelles
- 03. Croissance comparée
- 04. Dérivation
- 05. Opération dérivée
Fonctions exponentielles
e0 = 1. Pour tous réels a et b : ea+b = ea eb ; ea-b = ea / eb ; (ea)b = eab Pour tous a et b de ] 0 ; +∞ [ : ln(ab) = ln(a) + ln(b) ; ln(a/b) = ln(a) – ln(b) Pour tous a de ] 0 ; +∞ [ et x de IR : ax = exln(a) Pour tous x de ] 0 ; +∞ [, log(x) = ln(x) / ln(10) Pour tous x de P et y de ] 0 ; +∞ [ : y = ex <=> x = ln(y)
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Limites usuelles
Limex = 0 ( x → -∞ ) Limex = +∞ ( x → +∞ ) Lim ( ( ex – 1 ) / x ) = 1 ( x → 0 ) Limln(x) = -∞ ( x → 0 ) | Limln(x) = +∞ ( x → +∞ ) Lim ( ( ln( 1 + x ) ) / x ) = 1 ( x → 0 ) Lim ( sin(x) / x ) = 1 ( x → 0 )
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Croissance comparée
Lim ( ex / xn ) = +∞ ( x → +∞ ) Lim xnex = 0 ( x → -∞ ) | Lim xnln(x) = 0 ( x → 0 ) Lim ( ln(x) / xn ) = 0 ( x → +∞ ) |
Dérivation
f(x) | f'(x) | f(x) | f'(x) |
k ( k réel ) | 0 | ex | ex |
x | 1 | ln(x) | 1 / x |
xn ( n ≥ 2 ) | nxn-1 | sin(x) | cos(x) |
1 / x | - 1 / x2 | cos(x) | -sin(x) |
1 / xn | - n / xn+1 | tan(x) | 1 / cos2(x) |
√x | 1 / 2√x | tan(x) | tan2(x) + 1 |
Opération dérivée
( u + v )' = u' + v' ( ku )' = ku' ( k réel ) ( 1 / u )' = -u' / u2 ( u / v )' = ( u'v – uv' ) / v2 ( un )' = nu'un-1 ( n є IN* ) | ( √u )' = u' / 2√u ( v◦u )' = u' x ( v'◦u ) ( eu )' = u' eu ( ln u )' = u' / u |
Équations différentielles
a et b réels, a ≠ 0. Les solutions de l'équation différentielle y' = a y sont les fonctions f définies sur IR par : f(x) = C eax, où C décrit sur IR. Les solutions de l'équation différentielle y' = a y + b sont les fonctions f définies sur IR par : f(x) = C eax – ( b / a ), où C décrit sur IR.
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