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Activité numérique

Exercice 1

On donne les nombres :

A = 3/7 - 2 /7 x 21/8

B = ( 3 x 102 x 1.8x 10-3 )/( 6 x 104 )

C = √12 - 5√75 + 2√147

1)

A = 3/7 - 2 /7 x 21/8

A = 3/7 - ( 2 x 3 x 7 )/( 7 x 2 x 4 )

A = 3/7 - 3/4

A = 12/28 - 21/28

A = - 9/28

2)

a.

B = ( 3 x 102 x 1.8 x 10-3 )/( 6 x 104 )

B = ( 5.4 x 10-1 )/( 6 x 104 )

B = 0.9/105

B = 0.000009

b.

B = 9 x 10-6

3)

C = √12 - 5√75 + 2√147

C = 2√3 - 25√3 + 14√3

C = 9√3

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Exercice 2

D = (12x + 3)(2x - 7) - (2x - 7)²

1) développer et réduire D

D = 24x² - 84x + 6x -21 - (4x² - 28x + 49)

= 24x² - 84x + 6x - 21 - 4x² + 28x - 49

= 20x² - 50x  - 70

2) Factoriser D

D = (2x - 7) ( 12x + 3 - 2x + 7)

= (2x - 7) ( 10x + 10)

= 10 (2x -7) (x + 1)

3) Calculer D

pour x = 2

D = 10 (4 - 7) ( 2 + 1) = 10 X -3 X 3 = - 90

pour x = - 1

D = 10 ( -2 - 7) ( - 1 + 1) = 0

4) Résoudre l'équation (2x - 7) ( x + 1) = 0

Si un produit de facteur est nul alors l'un au moins des facteurs est nul.

2x - 7 = 0  ou  x + 1 = 0

x = 7/2  ou  x = -1

Les solutions sont 7/2 et -1

Exercice 3

1)

On procède à l'algorithme d'Euclide pour trouver le PGCD de 378 et 270.

378 / 270 = 1 reste 108

270 / 108 = 2 reste 54

108 / 54 = 2 reste 0

PGCD (378;270) = 54

2)

a.

Le plus grand diviseur commun de 378 et 270 est 54 donc on pourra faire 54 lots identiques.

b.

378 / 54 = 7

378 / 54 = 5

On pourra créer 54 lots identiques de 7 billes et 5 calots.

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Activité géométrique

Exercice 1

Dans ( 0 ; I ; J ), A ( -2 ; 1 ) ; B ( 0 ; 5 ) ; C ( 6 ; -3 )

2)

AC = √ [ ( 6 - (-2) )2 + ( -3 - 1 )2 ]

AC = √ [ 82 + (-4)2 ]

AC = √ [ 64 + 16 ]

AC = √ 80

AC = √ ( 16 x 5 )

AC = 4√5

3)

AB2 + AC2 et BC2

( 2√5)2 + ( 4√5 )2 et 102

4 x 5 + 16 x 5 et 100

20 + 80 et 100

100 = 100

Dans le triangle ABC :

AB2 + AC2 = BC2

D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A.

4)

vecteur AB ( 2 ; 4 )

Donc :

M ( xC + 2 ; yC + 4 )

M ( 8 ; 1 )

5)

Si : vecteur AB = vecteur CM, alors le quadrilatère ABMC est un parallélogramme.

Or ABC est rectangle en A donc la parallélogramme ABCM possède un angle droit donc c'est un rectangle.

Exercice 2

C un cercle de centre O et de rayon 8 cm. I et J deux points de C diamétralement opposés. K un point de C tel que JK = 4 cm.

1)

Le triangle IJK est inscrit dans un cercle de diamètre son hypoténuse [IJ] donc le triangle IJK est rectangle en K.

2)

Les segments [OI] et [OK] sont des rayons du cercle C.*

Donc : OI = OK

3)

JK = 4 cm

Or OK = 8/2 = 4 cm

Donc : JK = OK

R est l'image de K par rapport à (IJ)

O et J sont invariants.

La symétrie axiale conserve les longueurs.

Donc JR = OR = JK = OK

La quadrilatère ROKJ a 4 côtés de même longueurs donc c'est un losange.

Exercice 3

(AM) et (BN) sécantes en O. OA = 3 ; OB = 2.5 ; OM = 5.4 ; ON = 4.5.

1)

OA/OM et OB/ON

3/5.4 et 2.5/4.5

13.5/24.3 = 13.5/24.3   (mise au même dénominateur)

Les droites (AM) et (BN) sécantes en O.

A, O, M et B, O, N sont placés dans le même ordre.

OA/OM = OB/ON

D'après la réciproque du théorème de Thales, (AM) // (BN).

2)

La figure est en configuration de Thales.

Donc : OA/OM = OB/ON = AB/MN

OB/ON = AB/MN

MN = AB x ON/OB

MN = 1.2 x 4.5/2.5

MN = 2.16

3)

c) 3.24

Problème

Première partie

1)

a.

Nombres de séances 10 18 25
Dépense totale avec le tarif A 80 144 200
Dépense totale avec le tarif B 90 130 165
Dépense totale avec le tarif C 160 160 160

 

 

 

b.

Si Mélissa désire faire 10 séances alors le tarif A est le plus avantageux car il sera le moins coûteux.

2)

a. Tarif A : f(x) = 8x

b. Tarif B : g(x) = 5x + 40

c. Tarif C : h(x) = 160

3)

a.

5x + 40 ≤ 8x

40 ≤ 3x

x ≥ 40/3

b.

40/3 ≈ 14 par excès

Le tarif B est plus avantageux que le tarif A à partir de 14 séances.

Deuxième partie

1)

3)

a.

Graphiquement, le tarif A est le plus avantageux si Mélissa ne fait que dix séances.

b.

Graphiquement, le tarif C devient le plus avantageux à partir de 24 séances.

c.

Elle devra choisir le tarif pour le plus de séances possibles à savoir 18 avec 130 €.

Troisième partie

Vu que son amie a fait une séance toutes les deux semaines, elle en aura fait 26 en une année.

D'après le graphique, pour 26 séances de squash, le tarif C est le plus avantageux donc l'amie de Mélissa a fait le bon choix.

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Olivier

Professeur en lycée et classe prépa, je vous livre ici quelques conseils utiles à travers mes cours !