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C'est parti

Un peu d'histoire

La division existait déjà au temps des romains. En effet, ils utilisaient les fractions pour représenter des parts.

Définition

La division est l'une des 4 opérations que l'on peut réaliser. Elle est associée à la multiplication. De tout temps, elle a été utilisée afin de réaliser des divisions et des partages.

La division est une opération en cours de maths qui permet de partager un nombre en un certain nombre de parties égales, avec un reste éventuel. On appelle le dividende (D) le nombre que l'on souhaite partager, le diviseur (d) est le nombre de parts, le quotient (q) est le résultat de la division, sans oublier le reste (r). Le signe ":" est le symbole de la division. Exemple : 12 : 5 = 2 et il reste 2 D : d = q + r

La division euclidienne

La division euclidienne, en cours de maths 3ème, aussi appelée division entière est une division de deux entiers qui implique en résultat deux nombres : un quotient et un reste. Par exemple, 15 divisé par 2 est égal à 7 et il reste 1. Il convient donc pour effectuer ce type de division de poser le calcul. Ce type de division est utile en cours de maths seconde, plus précisément en arithmétique pour effectuer des calculs de PGCD.

Propriétés

10 : 5 ≠ 5 : 10 - La division n'est pas commutative. ... 10 : 10 = 1 - La division de deux nombres égaux est égale à un. Ainsi quelque soit le nombre a, on a : a : a = 1 ... 28 : 7 = 4 => 28 = 4 x 7 28 : 5 = 5 reste 3 => 28 = (5 x 5) + 3 - Le dividende est égal au produit du quotient et du diviseur, auquel on ajoute le reste. On a ainsi : D = (d x q) + r

Cette propriété est très utile pour vérifier le résultat d'une division.

- Pour poser une division, on commence par écrire le dividende et le diviseur, séparé par un trait vertical. Puis on souligne le diviseur, afin de le séparer du quotient.

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Les fractions

Les fractions permettent elles aussi de diviser. Une fraction représente une part d'un tout. Dans la fraction [ \frac { x } { y } ] x est le numérateur et y est le dénominateur. Les parts représentées par les fractions ont des noms en fonction du nombre au dénominateur. Voici un tableau qui les récapitule :

FractionNom
1/2Un demi
1/3Un tiers
1/4Un quart
1/5Un cinquième
1/6Un sixième
1/7Un septième
1/8Un huitième
1/9Un neuvième
1/10Un dixième

Quelques règles

  • Le dénominateur n'est jamais égal à 0 car le division par 0 est interdite ;
  • Lorsque la division de x par y n'est pas un nombre exact, la valeur exacte sera représentée par la fraction x / y ;
  • Chaque quotient a une écriture fractionnaire. Par exemple, le quotient x ÷ y aura pour écriture fractionnaire x / y ;
  • Si l'on multiplie le numérateur et le dénominateur par le même nombre entier alors on obtiendra une fraction égale.

Simplifier une fraction

On peut simplifier une fraction. Cela signifie que l'on peut rendre ses deux parties (numérateur et dénominateur) plus petits. Par exemple : [ \frac { 54 } { 28 } = \frac { 27 } { 14 } ]

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Exemples

328 : 5 = ?

Le diviseur (5) a 1 chiffre ; on considère donc le premier chiffre du dividende (328), donc 3.

3 étant inférieur à 5, il faut prendre un deuxième chiffre au dividende, donc 32.

On divise donc 32 par 5. Le résultat est 6.

(Dans 32, combien de fois 5 ? => 6)

On écrit 6 sous le diviseur et on écrit le produit de 5 par 6 (soit 30) au-dessous de 32.

Puis il faut soustraire 30 de 32. On obtient 2.

On abaisse ensuite le chiffre suivant du dividende (8) .

On divise maintenant 28 par 5. Le résultat est 5.

(Dans 28, combien de fois 5 ? => 5)

On écrit 5 sous le diviseur et on écrit le produit de 5 par 5 (soit 25) au-dessous de 28.

Puis il faut soustraire 28 de 25. On obtient 3.

Tous les chiffres du dividende ayant été utilisés, la division est terminée.

On obtient la valeur approchée par défaut du quotient de 328 par 5 ; c'est 65 ; ... et le reste est égal à 3.

328 : 5 = 65 reste 3

ou

328 = (5 x 65) + 3

287 : 24 = ?

Le diviseur (24) a 2 chiffres ; on considère donc les deux premiers chiffres du dividende (1 287), donc 12.

12 étant inférieur à 24, il faut prendre un troisième chiffre au dividende, donc 128.

On divise donc 128 par 24. Le résultat est 5.

(Dans 128, combien de fois 24 ? => 5)

On écrit 5 sous le diviseur et on écrit le produit de 24 par 5 (soit 120) au-dessous de 128.

Puis il faut soustraire 120 de 128. On obtient 8.

On abaisse ensuite le chiffre suivant du dividende (7).

On divise maintenant 87 par 24. Le résultat est 3.

(Dans 87, combien de fois 24 ? => 3)

On écrit 3 sous le diviseur.

Puis on écrit le produit de 3 par 24 (soit 72) au-dessous de 87.

Puis il faut soustraire 72 de 87. On obtient 15.

Tous les chiffres du dividende ayant été utilisés, la division est terminée.

On obtient la valeur approchée par défaut du quotient de 1 287 par 24 ; c'est 53 ; ... et le reste est égal à 15.

1 287 : 24 = 53 reste 15

ou

1 287 = (24 x 53) + 15

Quelques règles et propriétés sont à connaître en rapport avec la division. Elle est par exemple prioritaire sur l'addition et la soustraction mais pas sur la multiplication.

Remarques

- Le reste ne peut jamais être supérieur au diviseur.

- Quand le diviseur est un nombre à 2 chiffres ou plus, il est pratique de construire la table de multiplication de ce nombre avant d'effectuer la division.

Il peut être intéressant de connaître certains critères de divisibilité.

Critère de divisibilité par 2 : - Un nombre entier naturel est divisible par 2 s'il est pair, c'est à dire si son chiffre des unités est 0 ; ou 2 ; ou 4 ; ou 6 ; ou 8. Exemple : Le nombre 358 est divisible par 2 parce que son chiffre des unités est 8 ; 352 : 2 = 176

Critère de divisibilité par 3 : - Un nombre entier naturel est divisible par 3 si le nombre à un chiffre obtenu en calculant la somme des chiffres du nombre initial, puis la somme des chiffres de la somme formée, etc. est 3 ; ou 6 ; ou 9. Exemple : Le nombre 279 est divisible par 3 ; en effet : 2 + 7 + 9 = 18  et 1 + 8 = 9 ; 279 : 3 = 93

Critère de divisibilité par 4 : - Un nombre entier naturel est divisible par 4 si ses deux derniers chiffres sont divisibles par 4. Ce nombre est deux fois divisible par 2. Exemple : Le nombre 6 548 est divisible par 4 ; en effet : 48 est dans la table de 4 => 4 x 12 = 48 ; 6 548 : 4 = 1 637

Critère de divisibilité par 5 : - Un nombre entier naturel est divisible par 5 si le chiffre des unités est 0 ou 5. Exemple : Le nombre 855 est divisible par 5 puisqu'il se termine par 5. 855 : 5 = 171

Critère de divisibilité par 6 : - Un nombre entier naturel est divisible par 6 s'il est divisible par 2 et par 3. Exemple : Le nombre 276 est divisible par 2 et par 3, donc par 6 ; 276 : 6 = 46 ...

Critère de divisibilité par 9 - Un nombre entier naturel est divisible par 9 si le nombre à un chiffre obtenu en calculant la somme de ses chiffres, puis en répétant l'opération jusqu'à ce qu'il n'y ait plus qu'un chiffre, est 9. Exemple : Le nombre 675 est divisible par 9, car : 6 + 7 + 5 = 18  et  1 + 8 = 9 675 : 9 = 75 ...

Critère de divisibilité par 10 - Un nombre entier naturel est divisible par 10 si le nombre des unités est égal à 0. Exemple : Le nombre 9 240 est divisible par 10 ; 9 240 : 10 = 924

Voici le genre d'exercices ou de problèmes que vous pourriez rencontrer lors de vos cours ou lors de vos examens. Ils vous permettront de mettre en application ce cours sur les divisions.

Exercices

C’est le temps de l’inscription pour les cours de football. 227 enfants se sont inscrits. Les groupes sont formés de 9 enfants. Combien de groupes y aura-t-il ?

Quatre enfants avaient 3 sacs de barres chocolatées. Ils ont ouvert les 3 sacs et ils ont décidé de les diviser également entre eux. Il y a 54 barres dans chaque sac. Combien de barres est-ce que chaque enfant a reçues ?

Des parents doivent préparer des sandwichs pour un pique-nique. Combien de sandwichs peut-on faire avec 5 pains contenant 20 tranches chacun ?

Une classe de 19 élèves s’en va à la piscine. Chaque voiture peut transporter 4 élèves. De combien de voitures aura-t-on besoin ?

On décharge un camion contenant 231 colis avec un engin pouvant transporter 20 colis au coup. Combien va-t-il falloir faire de voyages ? Combien de colis restera-t-il au dernier voyage ? Jacqueline a 16 œufs et 3 paniers. Elle met le même nombre d’œufs dans chaque panier. Combien d’œufs y a-t-il dans chaque panier ? Marie veut acheter d’autres crayons pour sa classe. Dans la classe, il y a 8 tables sur lesquelles elle entrepose les crayons. Si elle en achète 200, combien de crayons va-t-elle distribuer également à chaque table ? Émeline a 6 photos sur chaque page de son album. Il y a 32 photos en tout. Combien de pages y a-t-il dans son album ?

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Clément

Freelancer et pilote, j'espère atteindre la sagesse en partageant le savoir que j'ai acquis lors de mes voyages au volant de ma berline. Curieux scientifique, ma soif de découverte n'a d'égale que la durée de demie-vie du bismuth 209.