Chapitres
- 01. Introduction
- 02. Définition
- 03. Résolution d'équations
- 04. Passer de problème à équation
Introduction
Les équations en mathématiques, sont un mélange de nombres et de lettres où les lettres sont les inconnues que l'on souhaite déterminer. Plus on approfondie ses connaissances en mathématiques, plus une équation possède d'inconnues ! Commençons par comprendre la base d'une équation à une seule inconnue.
Définition
Une équation est un système, une égalité, qui permet de déterminer une ou plusieurs inconnues, représentées par des lettres.
Très souvent, on appelle x l'inconnue. Notre but est de trouver la valeur de cette inconnue grâce à la résolution de l'équation. La valeur trouvée sera alors appelée "la solution".
Par exemple, si on sait que x = 5 est une solution, alors à chaque fois que l'on utilisera x dans l'exercice, on pourra le remplacer par 5.
Nous étudierons des équations à une inconnue et seulement des équations de degré 1, par exemple [3x+2=5] ou [(6x+1)=(-4x+2)]
A l'inverse, [x^2+3x-5=-8x+1] est une équation de degré 2.
et [y+x+3=4x] est une équation à 2 inconnues.
Il faut faire différents calculs pour réussir à déterminer l'inconnue, trouver la solution. Pour cela, il y a certaines propriétés à connaître.
Lorsque l'on a une égalité, on peut additionner les deux côtés, les deux membres de l'égalité par le même nombre, l'égalité reste vraie. Cette même règle est applicable à la soustraction, la multiplication et la division.
Regardons des exemples.
On a l'équation [2+x = 5] On appelle [2+x] le membre de gauche et [5] le membre de droite. Si l'on soustraie un même nombre aux deux membres de l'égalité, on obtient par exemple [2+x-2=5-2] En faisant les calculs, on a [x=3]
L'égalité est restée vraie : on observait très clairement dans l'équation de départ que la solution était x=3.
De même, pour [3x=6] On peut diviser par trois les deux côtés de l'égalité pour finalement obtenir [\frac{3x}{3}=\frac{6}{3}] ce qui revient après calculs à [x=2]
L'égalité est restée vraie, on constatait dès le départ que x=2 était solution.
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Résolution d'équations
Maintenant que nous avons fixé les propriétés à utiliser, parlons plus particulièrement de se qui nous intéresse : résoudre une équation de degré 1 à une inconnue.
Le but va être d'isoler l'inconnue, c'est à dire que celle ci n'apparaisse que d'un côté de l'égalité, en utilisant les propriétés ci dessus. Pour cela, on prendra le temps de détailler les opérations et propriétés utilisées.
Regardons différents exemples pour comprendre.
Prenons [2b +6 = b - 3] C'est une équation d'inconnue b. On cherche à avoir un résultat du type : "b = quelque chose de simple". Pour cela, il faut isoler le b, étape par étape :
On commence par regrouper les "b".
[2b+6-b=b-3-b] cela équivaut après calculs à [b+6=-3]
On a soustraie b des deux côtés de l'égalité afin de faire disparaitre le "b" situé à droite.
Maintenant on isole le b à gauche.
[b+6-6=-3-6] ce qui revient à écrire [b=-9]
On a soustraie 6 de chaque côté de l'égalité.
On a finalement le résultat : b=-9.
Regardons un autre exemple : [-4x+6=5+2x]
On commence par mettre tous les "x" d'un même côté.
[-4x+6-2x=5+2x-2x] On calcule et on a [-6x+6=5]
Maintenant on isole les "x" à gauche.
[-6x+6-6=5-6]
Après calculs, cela revient à [-6x=-1]
Enfin, on simplifie par -6 pour obtenir x.
[\frac{-6x}{-6}=\frac{-1}{-6}]
Finalement, on obtient [x=\frac{1}{6}]
Prenons un troisième exemple en déterminant c dans [7c -4 = 2c +8]
On commence par mettre tous les "c" du même côté. Pour cela, on soustraie 2c de chaque côté.
[7c-4-2c=2c+8-2c]
Après calculs, cela donne [5c-4=8]
Maintenant, on isole les "c". On commence par ajouter 4 de chaque côté.
[5c-4+4=8+4] cela revient à [5c=12]
Enfin, on divise par 5 de chaque côté.
[\frac{5c}{5}=\frac{12}{5}]
On obtient finalement [c=\frac{12}{5}=2,4]
La méthode de résolution des équations est toujours la même, il suffit de comprendre ces quelques exemples et de s'entrainer !
Lorsque l'équation est compliquée et que l'on a une idée de la solution, on peut aussi tester si un nombre est solution.
Par exemple, on a l'affirmation : -2 est solution de l'équation [5x=x-8]
Pour vérifier si l'affirmation est vraie ou fausse, on remplace séparément x par -2 dans chacun des membres.
Le membre de gauche donne : [5times (-2)=-10]
Le membre de droite vaut [-2-8=-10]
Les deux membres sont égaux, donc l'égalité est vraie.
Notons quelques cas particuliers, par exemple [x+3=x-2]
Ici, en soustrayant x de chaque côté, on a [3=-2]
Évidemment, c'est faux. Cela signifie que l'équation n'admet aucune solution.
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Passer de problème à équation
Lorsque l'on se place dans une situation réelle, une situation concrète, il est important de comprendre le lien possible entre le problème et l'équation.
Par exemple, on a l'équation [5x-2=2times 20]
On note x le prix d'une écharpe.
Marc veut acheter 5 écharpes, il donne deux billets de 20 euros à la vendeuse mais celle ci lui dit qu'il manque encore 2 euros. Quel est le prix d'une écharpe ?
On observe tout simplement que l'équation que l'on a correspond à l'énoncé. Ainsi, pour déterminer le prix d'une écharpe, il suffit de résoudre l'équation !
[5x-2=40] [5x-2+2=40+2] [5x=42] [\frac{5x}{5}=\frac{42}{5}] [x=\frac{42}{5}=8,4]
Une écharpe coute 8 euros et 40 centimes.
Regardons un deuxième exemple.
Julien possède un champ clôturé. Il sait que le champ à une superficie de 1200m². Il a mesuré la largeur du champ qui est de 20m mais la longueur est trop longue pour être mesurée. Déterminer la longueur du champ.
Ici, il faut traduire l'énoncé sous forme d'équation. Quelle est notre inconnue ? C'est la longueur du champ. On note donc x la longueur du champ.
On sait que la largeur est de 20 m et l'aire de 1200m².
On fait le lien entre toutes les données : l'aire d'un rectangle est égal à la longueur du rectangle multiplié par sa largeur.
Ainsi, on a [1200=xtimes 20]
Il nous suffit maintenant de résoudre l'équation.
[1200=20x] [\frac{1200}{20}=\frac{20x}{20}] [60=x]
Donc la longueur du champ est de 60m.
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