?Réduire une expression en mathématiques consiste à simplifier ou condenser l'expression autant que possible

✒️Développer une expression implique d'étendre une expression algébrique complexe en utilisant les règles de l'algèbre pour obtenir une forme plus détaillée.

?Factoriser une expression en mathématiques revient à réécrire cette expression sous la forme du produit de facteurs afin de simplifier ou décomposer l'expression.

Et voici tout ce qu'il faut savoir en détails !

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C'est parti

Réduire une expression ✍️

Des lunettes posées sur un cahier de maths.
Quand réduire et développer une expression devient un jeu d'enfant !

Définition ?

➡️ Réduire une expression signifie simplifier ou condenser l'expression autant que possible. Cela implique souvent la simplification d'une fraction, la factorisation d'un polynôme ou la simplification d'une expression algébrique complexe.

?L'objectif est d'obtenir une forme plus simple tout en conservant l'équivalence avec l'expression d'origine.

Exemple ➡️

Expression d'origineÉtapes de réductionExpression réduite
(2x^2 + 4x)/(2x)2x(x+2)/(2x)x+2

? Et voici une explication de la réduction d'expressions avec et sans parenthèses :

Réduction d'expressions sans parenthèses ??‍?

Simplification des termes semblables : combiner et simplifier les termes similaires en utilisant les règles de l'algèbre. Par exemple, (2x + 3x) peut être réduit à (5x).

Simplification des fractions : réduire les fractions en simplifiant le numérateur et le dénominateur. Par exemple, 4x/2 peut être réduit à (2x).

Factorisation : factoriser les expressions en trouvant des facteurs communs. Par exemple, (3x + 6) peut être factorisé en (3(x + 2)).

Réduction d'expressions avec parenthèses ??‍?

Des punaises plantées dans un tableau de liège.
Réduire et développer une expression est utile pour quiconque s'intéresse aux mathématiques.
  • Utilisation de la distributivité (ou la propriété distributive) : appliquer la distributivité pour développer les expressions en utilisant les parenthèses. Par exemple, (3(x + 2)) peut être développé en (3x + 6).
  • Simplification des termes à l'intérieur des parenthèses : simplifier les termes à l'intérieur des parenthèses avant d'appliquer d'autres opérations. Par exemple, (2(3x - 1)) nécessite la multiplication de (2) par chaque terme à l'intérieur des parenthèses.
  • Combinaison des termes semblables après distribution : si l'expression est développée à partir de parenthèses, combiner et simplifier les termes similaires. Par exemple, (4x + 2x) après avoir distribué (2) à (2x) peut être réduit à (6x).
  • Simplification globale : réduire l'expression globale en combinant tous les termes similaires. Par exemple, ((x + 3) + (2x - 1)) peut être réduit à (3x + 2).

➡️ En résumé, que l'expression ait ou non des parenthèses, la réduction implique l'application de règles d'algèbre. L'utilisation judicieuse de ces techniques permet de simplifier les expressions mathématiques.

Développer une expression ?

Définition ?

Développer une expression signifie étendre une expression algébrique complexe en utilisant les règles de l'algèbre, telles que la distribution. Cela peut impliquer de multiplier des termes, d'appliquer la propriété distributive, ou de simplifier des expressions avec des parenthèses.

Exemple ➡️

Expression d'origineÉtapes de développementExpression développée
(x+3)(x-2)x(x-2) + 3(x-2)x^2 + x - 6

Distributivité simple ?

La distributivité simple permet de multiplier un terme par tous les termes à l'intérieur d'une parenthèse.

Exemple ➡️

Pour développer ( a(b + c) ), on distribue ( a ) à ( b ) et ( c ) :
[ a(b + c) = ab + ac ]

Double distributivité (ou distributivité multiple) ?

La double distributivité s'applique lorsque deux parenthèses sont présentes. On distribue chaque terme de la première parenthèse à tous les termes de la deuxième parenthèse.

Exemple ➡️

Pour développer ( (a + b)(c + d) ), on distribue ( a ) à ( c ) et ( d ), puis ( b ) à ( c ) et ( d ) :
[ (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd ]

Factorisation et développement inverse ?

Il est souvent utile de factoriser des expressions pour les simplifier. Le développement inverse consiste à retrouver l'expression d'origine à partir d'une expression factorisée.

Exemple ➡️

Si ( ab + ac ) est donné, on peut factoriser ( a ) pour obtenir ( a(b + c) ).

Un élève écrit sur un tableau blanc.
Qu'est-ce que la factorisation ? Voici nos réponses !

Application des règles avec des exemples concrets ?

Exemple 1 ➡️

Développons l'expression ( 2(x + 3) ) en utilisant la distributivité simple :

[ 2(x + 3) = 2x + 6 ]

Exemple 2 ➡️

Développons l'expression ( (a - 2)(a + 5) ) en utilisant la double distributivité :

[ (a - 2)(a + 5) = a^2 + 5a - 2a - 10 = a^2 + 3a - 10 ]

Cas particulier : carré d'une somme ou d'une différence ?

Pour développer le carré d'une somme ou d'une différence, on utilise les identités remarquables.

Exemple ➡️

[ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 ]

Réduction d'expressions développées ?

Après avoir développé une expression, il est souvent nécessaire de réduire l'expression en simplifiant les termes semblables.

Exemple ➡️

Réduisons l'expression ( 3x + 2x ) en combinant les termes similaires :

[ 3x + 2x = 5x ]

À vous de jouer !

@marsmath76 Développe et réduis #mathematics #exercice #calcul #prof ♬ son original - Mars math

Factoriser une expression ✍️

Définition ?

En mathématiques, factoriser une expression consiste à écrire cette expression sous la forme du produit de facteurs.

? L'objectif est de décomposer l'expression en une multiplication de termes plus simples, appelés facteurs, qui, lorsqu'ils sont multipliés ensemble, donnent l'expression d'origine.

Exemple ➡️

DéfinitionExemple
Factoriser une expression algébrique E revient à écrire E sous la forme E = (a1 ⋅ a2 ⋅ … ⋅ an), où a1, a2, …, an sont les facteurs.Factorisons x^2 - 4. Appliquons la règle de la différence de carrés : x^2 - 4 = (x-2)(x+2).

Réduire et développer : exercice (type brevet) ✒️

Comment avoir son brevet ?
Les examens peuvent être très stressants. Mais si vous révisez correctement et régulièrement, il n'y a pas de raison de stresser : tout se fera très naturellement !

E= (3x+2)² - (5-2x)(3x+2)

1) Développer et réduire l'expression E

2) Factoriser E

3) Calculer la valeur de E pour x= -2

4) Résoudre l'équation (3x+2)(5x-3)=0

Correction ?

? 1) E =(3x)² + 2 * 3x * 2 + 2² - (5 * 3x + 5 x 2 +(-2x) * 3x +(-2x) * 2)

  • Pour le (3x+2)², on utilise l'identité remarquable a+2ab+b d'où a=3x et b=3 (que dans cet exercice),
  • Pour (5-2x)(3x+2) on distribue la 1ere parenthèse à la 2eme.

E = 9x² + 12x + 4 - ( 15x + 10 - 6x² - 4x )

  • Quand il y a un moins devant une parenthèse, on inverse les signes.

E = 9x² + 12x + 4 - 15x - 10 + 6x² + 4x

  • Le 1er moins est l'inverse du + de +15x et le - qui était devant la parenthèse, on l'enlève !

E = 15x² + x - 6

? 2)  E= (3x+2)² - (5-2x)(3x+2)

  • Avec le carré "²" on écrit 2 fois la parenthèse en supprimant le carré !

E= (3x+2)(3x+2) - (5-2x)(3x+2)

  • Les 2 parenthèses soulignent le facteur commun de part et d'autre du signe -

E = (3x+2)[(3x+2)-(5-2x)]

E = (3x+2)[3x+2-5+2x]

  • Quand il y a un moins devant une parenthèse, on inverse les signes,
  • Le 1er moins en rouge est l'inverse du + de +5x et le - qui était devant la parenthèse on l'enlève !

E = (3x+2)[5x-3]

  •  Pour savoir si votre résultat est juste, ce dernier doit être identique a l'équation a résoudre.

? 3) E = (3x+2)[5x-3]

  • Un conseil, quand vous devez remplacer x par un nombre, toujours prendre l'expression de la factorisation car il y a moins de x mais attention à revérifier votre factorisation.

E = (3 * (-2) + 2) * (5 * (-2) - 3)

E = -4 * -13

E = 52

? 4) L'équation (3x+2)(5x-3)=0 revient à résoudre :

3x+2= 0 ; 3x = -2 ; x= -2/3 : x= -1.5

ou

5x - 3 = 0 ; 5x = 3 ; x = 3/5 ; x= 0.6

L'équation  (3x+2)(5x-3)=0 a pour solution -1.5 et 0.6.

Pour ne pas apprendre le théorème de l'équation qui est long, mieux vaut présenter comme cela car cela résume le théorème

Toujours inverser les signes quand on déplace le nombre de part et d'autre du signe égal comme 3x+5=0 ; 3x=-5

À présent, vous voici prêt à réduire et développer autant d'expressions que possible. À vous de jouer !

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Olivier

Professeur en lycée et classe prépa, je vous livre ici quelques conseils utiles à travers mes cours !