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DM Maths Limites et continuité
Envoyé par: key11 (Adresse IP conservée)
Date: mar 1 novembre 2011 11:31:19

Bonjour. J'ai un devoir maison et je ne comprend pas, à vrai dire je suis un peu "paumé". Donc si vous voudriez bien m'aider. je vous écris le sujet:


Exercice 1 :


Jaouad se pose la question suivante: le fait de multiplier une fonction continue sur un intervalle I par une fonction qui présente des discontinuités sur ce même intervalle conduit-il nécessairement à un résultat discontinu?
Pour tout réel x, on note E(x) la partie entière de x.


1) On pose f(x)=E(x) et g(x)=x pour tout x appartient à [-2;3[.
On note h la fonction f*g. Ecrire l'expression de h sans utiliser la partie entière, en coupant l'intervalle [-2;3[ en plusieurs sous-intervalles où E(x) reste constant. Tracer alors la courbe de h sur [-2;3[.
h possède-t-elle les mêmes discontinuités que f?


2) On pose à présent f(x)=E(x), g(x)=sin(pie x) pour tout x appartient à [-2;3[.
On pose encore h=f*g.
a) Etudier les variations de g sur [0;1]. Pourquoi l'étude de g sur [0;1] suffit-elle à connaître g sur R?
b) Ecrire l'expression de h sur [-2;3[ sans utiliser la partie entière.
c) Démontrer que h est continue en 1 & 2.
d) Si au lieu de se restreindre à [-2;3[ on définissait h sur R par h(x)=E(x)sin(pie x), que pourrait-on conjecturer concernant la continuité de h sur R?
e) Tracer la courbe de h sur [-2;3[.


3) Répondre à l'interrogation de Jaouad.



Exercice 2:


1) On considère un réel quelconque a. Montrer que l'équation x^3=a admet une unique solution sur R.


2) Pour tout a appartient à R, on note ^3Va l'unique solution de l'équation x^3=a. Cette définition conduit donc à la propriété x=^3Va <=> a=x^3. A l'aide de cette propriété et de vos connaissances sur les puissances entières, démontrer que pour tous réels a et b, ^3Va x ^3Vb = ^3Vab


3) On pose alpha=^3V(10+V108) + ^3V(10-V108). Calculer alpha^3 en fonction de alpha. En déduire que alpha est solution de l'équation x^3+6x-20=0. Trouver une solution évidente de cette équation. Justifier enfin que cette équation admet une unique solution sur R. Conclusion ?


J'ai vraiment beaucoup de mal à résoudre ces 2 exercices. Je ne vois la piste. Pourriez vous m'aider??


J'espère avoir une réponse rapidement
Cordialement




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