Chapitres
Introduction
Dans la vie de tous les jours, il nous arrive souvent de réaliser des calculs simples. Lorsque que l'on est à l'école, lorsque l'on fait ses courses, lorsque l'on fait ses comptes, les calculs sont partout. Il faut donc connaître les différentes règles de calcul.
Expression sans parenthèse
Sans parenthèse, nous avons 3 cas de figures :
- Expression avec addition et soustraction
Si le calcul ne possède que des additions, on l'effectue dans l'ordre que l'on veut.
Par exemple,
On peut aussi faire
Le résultat d'une addition s'appelle une somme. C'est aussi le nom que l'on donne au calcul.
Lorsque le calcul possède uniquement des additions et des soustractions, on l'effectue de la gauche vers la droite.
Par exemple,
On calcul d'abord 5-2=3. On obtient
En cours de maths en ligne, l'erreur à ne pas faire est de calculer d'abord 2+1, le 2 étant soustrait au 5 mais pas le 1.
On peut aussi écrire . Cela est possible car la soustraction est l'opération inverse de l'addition et peut parfois nous simplifier les calculs. Mais attention, on intervertit le 2 et le 1 à condition d'intervertir aussi les opérateurs + et - qui les précèdent !
Le résultat d'une soustraction s'appelle une différence. C'est aussi le nom que l'on donne au calcul.
- Expression avec multiplication et division
Si notre expression ne possède que des multiplications, on effectue les opérations dans l'ordre que l'on veut.
Par exemple, 3x5x2=15x2=30
On peut aussi faire 3x5x2=3x10=30
Le résultat d'une multiplication s'appelle un produit. C'est aussi le nom que l'on donne au calcul.
Lorsque notre expression possède uniquement des multiplications et des divisions, on effectue le calcul de la gauche vers la droite.
Par exemple,
Cela nous donne
Comme pour le point précédent, il est possible de modifier l'ordre des opérations en faisant attention que chaque chiffre conserve l'opérateur qui le précède.
On a
Cela est vrai car la division est l'opération inverse de la multiplication.
Le résultat d'une division s'appelle un quotient. C'est aussi le nom que l'on donne au calcul.
- Expression avec les 4 opérateurs
Dans ce cas, la multiplication et la division sont prioritaires sur l'addition et la soustraction.
Prenons pour exemple
On commence par calculer 3x8 et 20/5.
On obtient
Comme il n'y a plus que des additions et des soustractions, on revient au premier point.
Essayons sur une seconde expression. Supposons
On commence par les multiplications et divisions. On veut calculer
Ayant que des multiplications et divisions, applique le deuxième point. On a
On obtient finalement
L'opérateur est souvent noté par une barre de fraction. Par exemple,
Mais il faut faire attention lors de son utilisation. Réécrivons
Cela correspond à
Attention, ce n'est pas du tout la même chose que
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Expression avec parenthèses
Dans une expression, les opérations entre parenthèses sont prioritaires. Les points vus précédemment restent vrais, mais les parenthèses sont à effectuer en premier lieu.
Il faut également savoir que le trait de fraction sous-entend des parenthèses autour du numérateur et du dénominateur. On a bien :
Regardons différents exemples de calculs.
On commence par calculer la parenthèse.
Ensuite, une fois les parenthèses calculées, on calcule les multiplications et divisions. Plusieurs d'entre elles se suivant, on les calcule de la gauche vers la droite :
Enfin, on termine par les additions et les soustractions.
On fait la même chose pour
On commence par les opérations entre parenthèses. On n'oublie pas que le trait de fraction suppose des parenthèses autour du numérateur et du dénominateur.
On peut donc aussi écrire
Dans une parenthèse, on applique les points précédents : on commence par les multiplications et divisions puis par les additions et soustractions.
Ensuite, une fois les parenthèses toutes calculées, on effectue les multiplications et divisions.
Ainsi, il ne reste plus que des additions et des soustractions.
Il est possible qu'on ait plusieurs parenthèses imbriquées dans un seul calcul :
On commence par la parenthèse la "plus intérieure".
Il arrive parfois que des parenthèses soient inutiles. Il est nécessaire de les utiliser à bon escient, sans en abuser !
Par exemple,
Dans un calcul sans parenthèse, on effectue les multiplications et divisions en premier. De cette façon la deuxième parenthèse est inutile. On a :
De la même façon, il ne reste que des additions et soustractions. On fait donc les calculs de la gauche vers la droite quand il n'y a pas de parenthèse. Donc les parenthèses ne sont pas utiles ici.
Les parenthèses permettent alors de modifier et de décider de l'ordre des opérations. De cette façon, elles permettent d'écrire sous forme de calculs des problèmes.
Prenons un exemple. Un fermier a 4 chèvres, 5 vaches et 8 poules. Chaque animal se vend 10€. Combien le fermier va-t-il gagner ?
La calcul nous donne
Les parenthèses sont nécessaires pour écrire le problème sans répétition, de manière efficace.
Sans celles-ci, on écrirait
Pour aller plus loin
En mathématiques, il existe l'opération puissance qui consiste à multiplier un nombre par lui même plusieurs fois. Si l'on multiplie un nombre "a" par lui même n fois, on dira que l'exposant est n.
On notera
L'opération contraire est la racine n-ième, notée
Au collège, on étudie la puissance de 2, aussi appelée le carré
L'opération inverse étant la racine carrée :
Les exposants (et donc le carré) sont prioritaires sur les multiplications, divisions, additions et soustractions.
Par exemple,
On réalise en premier lieu les puissances.
On passe ensuite aux multiplications et divisions :
On termine par les additions et soustractions.
Bien-sûr, les parenthèses sont toujours prioritaires, même devant les exposants.
On a par exemple,
On commence par la parenthèse intérieure, puis la suivante jusqu'à éliminer toute les parenthèses.
Finalement, on obtient
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