Chapitres
Généralités
Fonction de variables réelle
On définit une fonction f de variable réelle et à valeurs réelles comme étant la donnée d’un sous-ensemble de R noté Df , appelé ensemble de définition de la fonction f et d’un procédé qui à tout réel x appartenant à Df associe un unique réel noté f(x), appelé image de x par f. Voici la notation : [ f : D _ { f } \rightarrow text { R } ] [ x \rightarrow f left( x right) ] Quelques remarques importantes :
- f(x) n'est pas une fonction
- Si f(x) = y alors on dit que x est un antécédent de y par f.
- La variable x utilisée dans la définition est muette.
- Lorsque f est définie sur une partie de N, on convient de dire que f est une suite numérique (souvent notée u, v, w) et l’image par f d’un entier naturel est notée fn (ou plus fréquemment un, vn, wn).
Courbe représentative et graphe
- Soit f une fonction numérique à variable réelle. Dans le plan muni d’un repère on appelle courbe représentative de f, notée Cf , l’ensemble des points de coordonnées ( x, f(x) ) où x ∈ Df .
- Le graphe de f est l’ensemble des couples (x, f(x)) où x ∈ Df , c’est un sous-ensemble de R²
Attention à ne pas confondre courbe représentative et graphe d’une fonction. La courbe représentative dépend du repère choisi, ce qui n’est pas le cas du graphe.
Le sens de variation d'une fonction Soit f une fonction définie sur un intervalle I.
- f est croissante sur I si : [ forall left( x , y right) in I ^ 2 space , space x leq y Rightarrow f left( x right) leq f left( y right) ]
- f est strictement croissante sur I si : [ forall left( x , y right) in I ^ 2 space , space x < y Rightarrow f left( x right) < f left( y right) ]
- f est décroissante sur I si : [ forall left( x , y right) in I ^ 2 space , space x geq y Rightarrow f left( x right) geq f left( y right) ]
- f est strictement décroissante sur I si : [ forall left( x , y right) in I ^ 2 space , space x > y Rightarrow f left( x right) > f left( y right) ]
- f est constante sur I si : [ forall left( x , y right) in I ^ 2 space , f left( x right) = f left( y right) ]
- f est monotone sur I si f est croissante ou si f est décroissante sur I.
- f est strictement monotone sur I si f est strictement croissante ou strictement décroissante sur I
Rappel
En cours de maths terminale s, il peut être utile de connaître le théorème suivant reliant le sens de variation et le signe de la dérivé d'une fonction : Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I :
- f est constante sur I équivaut à ce que f' soit nulle sur I ;
- f est croissante sur I équivaut à ce que f' soit positive sur I ;
- f est décroissante sur I équivaut à ce que f' soit négative sur I.
Mais attention, ces équivalent sont fausses si I n'est pas un intervalle.
Vous cherchez des cours de maths 3ème ?
Parité et périodicité
Soit f une fonction définie sur Df et I ⊂ Df .
- On dit que f est paire sur I si : [ forall x in I space , space -x in I ] [ forall x in I space , space f left( -x right) = f left( x right) ]
- On dit que f est impaire sur I si : [ forall x in I space , space -x in I ] [ forall x in I space , space f left( -x right) = f left( - x right) ]
Quelques exemples
- La fonction carrée est paire sur R ou sur [−1, 1] mais elle n’est pas paire sur [0, 1].
- La fonction cube est impaire sur R ou sur [−2, 2] mais elle n’est pas impaire sur [−2, 1].
- La fonction exponentielle n’est ni paire, ni impaire sur R.
- La fonction nulle est paire et impaire sur R.
Attention, le contraire de "la fonction n'est pas paire" n'est pas "la fonction est impaire" Voici ce qui permet de montrer l'intérêt de la notion de parité : Si f est une fonction paire (resp. impaire) sur Df alors on peut restreindre l’étude de f à Df ∩ R+ puisque :
- Si f est paire sur Df alors ses variations sur Df ∩ R+ et sur Df ∩ R- sont contraires. Dans un repère orthogonal, Cf est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
- Si f est impaire sur Df alors ses variations sur Df ∩ R+ et sur Df ∩ R- sont de même nature. Dans un repère orthogonal, Cf est symétrique par rapport à l’origine du repère.
Soit f une fonction numérique à variable réelle et T un réel strictement positif. On dit que f est T−périodique si :
- [ forall x in D _ { f } space , space x + T in D _ { f } text { et } x - T in D _ { f } ]
- [ forall x in D _ { f } space , space f left( x + T right) = f left( x right) ]
Remarques
- Le premier item de la définition ci-dessus équivaut à x ∈ Df ⇔ x + T ∈ Df .
- Il est clair que si f est T−périodique alors ∀n ∈ N∗, f est également nT−périodique.
Si f est une fonction T−périodique sur Df alors on peut restreindre l’étude de f à Df ∩ [0, T] ou Df ∩ [− T/2 , T/2] puisque : Si f est T−périodique sur Df alors ses variations sont de même nature sur tout ensemble du type [ kT , (k + 1)T] ∩ Df où k ∈ Z. Dans un repère orthogonal, Cf est obtenue par translations de vecteurs [ kT overrightarrow { i } ] de la portion de courbe représentative de f sur [0, T] ∩ Df ou sur [− T/2 , T/2] ∩ Df. Par exemple, les fonctions sinus et cosinus sont 2π-périodiques sur R.
Fonctions majorées, minorées ou bornées
Soit f une fonction et I une partie de Df
- f est majorée sur I s'il existe un réel M tel que : [ forall x in I space , space f left( x right) leq M ] on dit alors que M est un majorant de f sur I.
- f est minorée sur I s'il existe un réel m tel que : [ forall x in I space , space f left( x right) geq m ] on dit alors que m est un minorant de f sur I.
- f est bornée sur I si f est majorée et minorée sur I.
Extréma
On distingue deux notions d’extréma chez les fonctions numériques de variable réelle. Soit f une fonction numérique à variable réelle x0 ∈ Df
- f admet un maximum global en x0 si : [ forall x in D _ { f } space , space f left( x right) leq f left( x _ { 0 } right) ]
- f admet un minimum global en x0 si : [ forall x in D _ { f } space , space f left( x right) geq f left( x _ { 0 } right) ]
- f admet un extremum global en x0 si f admet un maximum global ou un minimum global en x0
Soit f une fonction numérique à variable réelle x0 ∈ Df
- f admet un maximum local en x0 s'il existe un intervalle I ⊂ Df tel que x0 ∈ I et [ forall x in D _ { f } space , space f left( x right) leq f left( x _ { 0 } right) ]
- f admet un minimum local en x0 s'il existe un intervalle I ⊂ Df tel que x0 ∈ I et [ forall x in D _ { f } space , space f left( x right) geq f left( x _ { 0 } right) ]
- f admet un extremum local en x0 si f admet un maximum local ou un minimum local en x0
On peut alors rappeler un théorème reliant extréma et dérivée d'une fonction : Soit f une fonction dérivable sur Df et x0 ∈ Df . Si f admet un extremum en x0 et si x0 n’est pas une extrémité de Df alors f'(x0) = 0. Mais attention car la réciproque de ce théorème est fausse.
Comment trouver des cours de maths seconde ?
Opération algébriques sur les fonctions
Somme de deux fonctions
Soient f et g deux fonctions définies sur un intervalle I. On définit la fonction f + g par : [ forall x in I space , space left( f + g right) left( x right) = f left( x right) + g left( x right) ]
- Si f et g sont (resp. strictement) croissantes sur I alors f +g est (resp. strictement) croissante sur I.
- Si f et g sont (resp. strictement) décroissantes sur I alors f + g est (resp. strictement) décroissante sur I.
Produit d'une fonction par un réel
Soient f une fonction définie sur un intervalle I et λ ∈ R. On définit la fonction λ.f par : [ forall x in I space , space left( lambda \cdot f right) left( x right) = lambda times f left( x right) ]
- Si λ > 0 alors λ.f et f ont même sens de variation sur I.
- Si λ < 0 alors λ.f et f ont des sens de variations contraires sur I.
Produit ou quotient de deux fonctions
Soient f et g deux fonctions définies sur un intervalle I.
- On définit la fonction f × g par : [ forall x in I space , space left( f times g right) left( x right) = f left( x right) times g left( x right) ]
- Si g ne s'annule par sur I alors on définit la fonction f/g par : [ forall x in I space , space left( \frac { f } { g } right) left( x right) = \frac { f left( x right) } { g left( x right) } ]
Mais attention, on ne cherchera pas à établir de propriété concernant le sens de variation d'un produit ou d'un quotient de fonctions.
Besoin d'un cours de maths ?
Composée de fonctions
Soient f et g deux fonctions définies respectivement sur les intervalles I et J. Si f(I) ⊂ J alors on définit la fonction g ◦ f par : [ forall x in I space , space left( g circ f right) left( x right) = g left( f left( x right) right) ] Mais attention, il faut prendre garde à l'ordre dans l'écriture de la composée puisque de façon générale, la composée de deux fonctions n'est pas commutative.
- Si f et g ont même sens de variation alors g ◦ f est croissante.
- Si f et g ont des sens de variation contraires alors g ◦ f est décroissante
Fonctions usuelles
Fonctions puissances d'exposant entier
Soit n ∈ Z et f la fonction définie par : f(x) = xn.
- Si n ∈ N, alors Df = R et f est continue et dérivable sur R.
- Si n ∈ Z N, alors Df = R∗ et f est dérivable sur R∗.
De plus ∀x ∈ R∗, f(x) = xn = 1 / x-n .
- Si n est pair (resp. impair) alors x → xn est paire (resp. impaire) sur R (resp. R∗).
- Si n ∈ N alors f est dérivable sur R et f'(x) = nxn-1. On établit ensuite facilement le sens de variation de f.
- Si n ∈ ZN alors f est dérivable sur R∗ et la dérivée de f a la même expression algébrique que précédemment.
-
- Si n = −1 il s’agit de la fonction inverse.
- Si n = 0 il s’agit de la fonction constante égale à 1.
- Si n = 1 il s’agit de la fonction identité.
- Si n = 2 il s’agit de la fonction carrée.
- Si n = 3 il s’agit de la fonction cube.
- Le produit, le quotient ou la composée de deux fonctions puissances est une fonction puissance d’après les règles de calcul sur les exposants vus dans le chapitre "Nombres réels".
- Les limites aux bornes de l’ensemble de définition s’obtiennent facilement suivant le signe et la parité de n.
Si vous désirez une aide personnalisée, contactez dès maintenant l’un de nos professeurs !
Cours très complet,tu pourrais aussi rajouter des exemples d’exercices pour rendre encore plus facile la compréhension.
Bravo pour ton travail !
Merci pour ce document !!!