A. CONTENU

Nombres et calcul numérique. Opérations (+, -, x,:) sur les nombres relatifs en écriture décimale ou fractionnaire (non nécessairement simplifiée).

B. COMPETENCES EXIGIBLES

Calculer le produit de nombres relatifs simples dans les différents cas de signe qui peuvent se présenter.

Les nombres entiers naturels, 0,1,2,3

Compétences exigibles:

Addition, soustraction et multiplication: savoir effectuer ces opérations sous les trois formes de calcul (mental, à la main, à la calculatrice, dans des situations n'exigeant pas de virtuosité technique.
Commentaires:

On consolidera et on enrichira les acquis de l'école élémentaire relatifs à la numération et au sens des opérations en les mobilisant dans l'étude de situations rencontrées au collège. On tendra ainsi à ce que la maîtrise des techniques opératoires devienne suffisante pour ne pas faire obstacle à la résolution de problèmes

Compétences exigibles:

Sur papier blanc et sans que la méthode soit imposée:

* reporter une longueur;
* reproduire un angle, un arc de cercle de centre donné;
* tracer, par un point donné, la perpendiculaire ou la parallèle à une droite donnée.

Utiliser correctement, dans une situation donnée, le vocabulaire suivant:

* droite
* cercle
* centre
* rayon
* diamètre
* angle
* droites perpendiculaires
* droites parallèles
* demi-droite
* segment
* milieu

Tracer et reproduire sur papier blanc les figures suivantes:

* triangle
* triangle isocèle
* triangle équilatéral
* triangle rectangle
* rectangle
* losange
* carré
* cercle

Reconnaître ces figures dans un environnement plus complexe.
Commentaires:

En complément aux instruments classiques de dessin, il est conseillé d'utiliser aussi du papier calque, du papier quadrillé ou pointé. I1 s'agit de développer les connaissances acquises à l'école élémentaire en vue de:

Compléter et consolider l'usage d'instruments de mesure ou de dessin (règle graduée ou non, compas, équerre).

Le rapporteur est un nouvel instrument de mesure qu'il convient d'introduire à l'occasion de la construction et de l'étude des figures; tirer parti des travaux pour préciser le vocabulaire, en particulier celui concernant les figures planes.Les travaux de reproduction et de construction pourront consister en:

* la copie conforme d'un modèle concret ou d'un dessin,
* un dessin à partir de données graphiques et numériques,
* un dessin à partir d'un énoncé décrivant la figure.

Les travaux de construction conduiront à l'utilisation progressive et prudente de lettres pour désigner les points d'une figure.

Cette utilisation est nouvelle et son apprentissage se fera à l'occasion d'activités de communication telles que figures «téléphonées» ou énoncés rédigés par des élèves.Les travaux de construction d'une figure, à l'aide d'instruments ou dans un environnement informatique, s'appuieront sur sa définition ou certaines de ses propriétés.

Les travaux géométriques permettront aussi la mise en place de courtes séquences déductives s'appuyant par exemple sur la définition du cercle et les propriétés d'orthogonalité et de parallélisme. On prendra garde à ce sujet de ne pas demander aux élèves de prouver des propriétés perçues comme évidentes.

Compétences exigibles:

Construire, sans méthode imposée et sur papier blanc:

* La médiatrice d'un segment
* La bissectrice d'un angle.

COMPÉTENCES EXIGIBLES

Savoir que: a/b=a*1/b

Déterminer une valeur approchée du quotient de deux nombres décimaux (positifs ou négatifs).

Utiliser sur des exemples numériques les égalités: ac/bc=a/b; a/b*c/d=ac/bd ; a/b:c/d=a/b*d/c où a, b, c et d sont des nombres décimaux relatifs.

Calculer la somme de nombres relatifs en écriture fractionnaire.
COMMENTAIRES

Un travail sera conduit sur la notion d'inverse d'un nombre non nul, les notations x-1 ou 1/x et l'usage de calculatrices avec la touche correspondante. À cette occasion, on remarquera que diviser par un nombre non nul, c'est multiplier par son inverse.

L'addition de deux nombres relatifs en écriture fractionnaire peut demander un travail sur la recherche de multiples communs à deux ou plusieurs nombres entiers. La recherche du plus petit commun multiple pour l'obtention d'un dénominateur commun et celle du plus grand diviseur commun pour l'obtention de la forme irréductible ne sont pas exigibles.

Compétences exigibles :

Caractériser le triangle rectangle :

* par son inscription dans un demi-cercle
* par la propriété de Pythagore et sa réciproque.

Calculer la longueur d'un côté d'un triangle rectangle à partir de celles des deux autres.

En donner, s'il y a lieu, une valeur approchée, en faisant éventuellement usage de la touche racine d'une calculatrice.

Trouver à l'aide de la calculatrice une valeur approchée de la racine carrée d'un nombre positif.
Commentaires :

On poursuit le travail sur la caractérisation des figures en veillant à toujours la formuler à l'aide d'énoncés séparés.

Les relations métriques dans le triangle rectangle, autres que celles mentionnées dans les compétences exigibles, ne sont pas au programme.Le théorème de Pythagore fournit l'occasion de calculer des racines carrées de nombres positifs dans des cas qui relèvent d'une situation où le nombre calculé a une signification que l'élève peut identifier.

On peut aussi rattacher le calcul d'une racine carrée à des problèmes où interviennent l'aire d'un carré et la mesure de son côté.

Le théorème de Pythagore

CONTENUS

Triangles déterminés par deux droites parallèles coupant deux sécantes.
COMPÉTENCES EXIGIBLES

Connaître et utiliser la proportionnalité des longueurs pour les côtés des deux triangles déterminés par deux droites parallèles coupant deux sécantes :

Dans un triangle ABC, si M est un point du côté [AB], N un point du côté [AC] et si [MN] est parallèle à [BC], alors :
AM/AB = AN/AC = MN/BC

CONTENU

* Puissances d'exposant entier relatif.
* Notation scientifique des nombres décimaux. Ordre de grandeur d'un résultat.

COMPETENCES EXIGIBLES

Comprendre les notations et et savoir les utiliser sur des exemples numériques pour des exposants très simples et pour des égalités telles que...

CONTENU

Triangle rectangle et cercle circonscrit
COMPETENCES EXIGIBLES

* Caractériser le triangle rectangle par son inscription dans un demi-cercle dont le diamètre est un côté du triangle.
* Caractériser les points d'un cercle de diamètre donné par la propriété de l'angle droit.

COMMENTAIRES

Le cas où le demi-cercle n'est pas apparent est étudié.

La propriété:
"Dans un triangle rectangle, la médiane relative à l'hypoténuse a pour longueur la moitié de celle de l'hypoténuse" ainsi que sa réciproque sont mises en place.

nstructions officielles

applicable à la rentrée 2007
Contenu

* Calcul littéral
* Développement

En classe de quatrième, la représentation d'objets géométriques usuels du plan et de l'espace, le calcul de grandeurs attachées à ces objets demeurent des objectifs majeurs. S'y ajoutent de nouvelles caractérisations pour certains d'entre eux (triangle rectangle, cercle, bissectrice).

Dans le plan, les travaux portent sur les figures usuelles déjà étudiées (triangle, cercle, quadrilatères particuliers), pour lesquelles il est indispensable de continuer à faire fonctionner les résultats mis en place.

L'étude plus approfondie du triangle rectangle et d'une nouvelle configuration (celle de triangles déterminés par deux droites parallèles coupant deux sécantes) permet d'aborder quelques aspects numériques fondamentaux de la géométrie du plan.

Certaines propriétés géométriques d'un agrandissement ou d'une réduction d'une figure sont également étudiées. L'effet sur les aires et les volumes n'est abordé qu’en classe de troisième.

Les activités de découverte, d'élaboration et de rédaction d'une démonstration sont de natures différentes et doivent faire l'objet d'une différenciation explicite. Le travail sur la caractérisation des figures usuelles est poursuivi, en veillant à toujours la formuler à l'aide d'énoncés séparés.

Dans l'espace, les travaux sur les solides étudiés exploitent largement les résultats de géométrie plane.

Compétences exigibles :

* Construire la tangente à un cercle en l'un de ses points.
* Savoir que le point d'une droite le plus proche d'un point donné est le pied de la perpendiculaire menée du point à la droite.

Commentaires :

Le problème d'intersection d'un cercle et d'une droite fera l'objet d'activités, sans pour autant que l'énoncé du résultat général soit une compétence exigible.

L'inégalité triangulaire et la symétrie axiale, vues en classe de 5ème , permettent de démontrer le résultat relatif à la distance d'un point à une droite, lequel peut aussi être relié au théorème de Pythagore.

COMPETENCES EXIGIBLES

Déterminer si deux entiers donnés sont premiers entre eux.

Savoir qu'une fraction est dite irréductible si son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux.

Simplifier une fraction donnée pour la rendre irréductible.
Commentaires:

Cette partie d'arithmétique permet une première synthèse sur les nombres, intéressante tant du point de vue de l'histoire des mathématiques que pour la culture générale des élèves.

Depuis la classe de cinquième, les élèves ont pris l'habitude de simplifier les écritures fractionnaires : la factorisation du numérateur et du dénominateur se fait grâce aux critères de divisibilité et à la pratique du calcul mental. Reste à savoir si la fraction obtenue est irréductible ou non.

On remarque que la somme et la différence de 2 multiples d'un nombre entier sont eux-mêmes multiples de cet entier. On construit alors un algorithme, celui d'Euclide ou un autre, qui donnant le PGCD de 2 nombres entiers, permet de répondre à la question dans tous les cas.

Les activités proposées ne nécessitent donc pas le recours aux nombres premiers. Les tableurs et logiciels de calcul formel peuvent, sur ce sujet, être exploités avec profit.A côté des nombres rationnels, on rencontre au collège des nombres irrationnels comme pi et racine de 2 . On pourra éventuellement démontrer l'irrationalité de racine de 2 . Une telle étude peut également mise à profit pour bien distinguer le calcul exact et le calcul approché.

Arithmétique
I. RAPPELS : LES ENSEMBLES DE NOMBRES
1) Les entiers naturels :

Ce sont les nombres que l'on peut compter sur ses doigts.

ex : 0 ; 1 ; 2 ...
2) Les entiers relatifs :

Ce sont les entiers naturels et leurs opposés.

ex : ... ; -3 ; -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ...
3) Les nombres rationnels :

Ce sont les résultats des divisions de 2 nombres entiers relatifs.

Si la division tombe juste, on les appelle aussi " décimaux ".

ex : = 0,5

Certains rationnels sont négatifs.

ex :-2/3 = -0,66666...
4) Les nombres irrationnels :

ex : pi, racine de 2

COMPETENCES EXIGIBLES

Factoriser des expressions telles que:

(x+1)(x+2)-5(x+2)

(2x+1)2+(2x+1)(x+3)

Connaître les égalités :

(a+b)2=a2+2ab+b2

(a-b)2=a2-2ab+b2

(a-b)(a+b)=a2-b2

et les utiliser sur des expressions numériques ou littérales simples telles que

101*101=(100+1)2

Résoudre une équation sous la forme AB=0, où A et B désignent 2 expressions du premier degré de la même variable.

COMMENTAIRES

La reconnaissance de la forme d'une expression algébrique faisant intervenir une identité remarquable peut représenter une difficulté qui doit être prise en compte. Les travaux s'articuleront sur 2 axes:

* utilisation d'expressions littérales pour des calculs numériques;
* utilisation du calcul littéral dans la mise en équation et la résolution de problèmes.

Les activités viseront à assurer la maîtrise du développement d'expressions simples; en revanche, le travail sur la factorisation qui se poursuivra au lycée, ne vise à développer l'autonomie des élèves que dans des situations très simples.

On consolidera les compétences en matière de calcul sur les puissances, notamment sur les puissances de 10.

L'étude du signe d'un produit ou d'un quotient de 2 expressions du premier degré de la même variable est, elle, hors programme.

COMPETENCES EXIGIBLES

Connaître et utiliser dans une situation donnée les deux théorèmes suivants :


Soient d et d' deux droites sécantes en A. Soient B et M deux points de d distincts de A. Soient C et N deux points de d' distincts de A. Si les droites (BC) et (MN) sont parallèles alors:
AM/AB=AN/AC=MN/BC

Soient d et d' deux droites sécantes en A. Soient B et M deux points de d distincts de A. Soient C et N deux points de d' distincts de A. Si

AM/AB=AN/AC

et si les points A,B,M et les points A,C,N sont dans le même ordre, alors les droites (BC) et (MN) sont parallèles.
COMMENTAIRES

Il s'agit d'un prolongement de l'étude faite en classe de 4ème. L'étude de la propriété de Thalès est l'occasion de traiter des situations de proportionnalité dans le cadre géométrique du plan et de l'espace. La réciproque est formulée en tenant compte de l'ordre relatif des points sur chaque droite.

L'utilisation d'un logiciel de construction géométrique pour permettre de créer des situations reliées au Théorème de Thalès, notamment lors des activités d'approche de la propriété par la mise en évidence de la conservation des rapports.

Le travail de construction de points définis par des rapports de longueurs permet de mettre en évidence l'importance de la position relative de ces points sur la droite. On s'intéressera particulièrement au problème suivant:

Etant donnés 2 points A et B, construire le point C de la droite (AB) sachant que le rapport a une valeur donnée sous forme de quotient d'entiers.
Accompagnements des programmes de 3ème :

Le travail demandé en géométrie, qui s'inscrit en complément, au moins partiel, de celui engagé précédemment (sur les configurations, les isométries), généralise des résultats antérieurs (situation de Thalès, angle inscrit...), tout en ouvrant un nouveau champ à la mise en oeuvre de démonstrations;

Dans les démonstrations, les initiatives des élèves sont encouragées. Les propriétés de Thalès et de l'angle inscrit permettent de traiter de nombreux problèmes. Les occasions de lier les domaines géométrique et numérique sont nombreuses ; le travail sur les objets du plan et de l'espace sert de support à des activités de calculs numériques et littéraux ; la manipulation des écritures de quotients permet, par exemple, de démontrer l'alignement des points représentatifs d'une fonction linéaire ou de justifier la construction des points partageant un segment dans un rapport donné sous forme d'un quotient d'entiers.

D'autre part, en exploitant le fait qu'une perpendiculaire à un plan en un point est perpendiculaire à toutes les droites du plan passant par ce point, on démontre, avec le théorème de Pythagore, que les sections planes d'une sphère sont des cercles. De même, on démontre, en utilisant de plus la propriété de Thalès, que la section d'une pyramide par un plan parallèle à sa base est une réduction de cette base.

Les problèmes d'orientation de la droite rencontrés également dans l'étude des situations de Thalès seront traités ultérieurement à d'autres niveaux avec l'homothétie et le produit d'un vecteur par un réel.

Ils ont rencontré et ont eu l'occasion d'élaborer, au cours de démonstrations, différents types de raisonnement : raisonnement déductif, raisonnement par disjonction des cas lors de l'examen de l'effet de la multiplication sur l'ordre, infirmation par mise en évidence d'un contre-exemple, approche du raisonnement par l'absurde lorsqu'il s'agit de reconnaître si une configuration est une configuration de Thalès ou si un triangle est rectangle.

Instructions officielles
CONTENUS

* Géométrie dans l'espace .
* Sphère
* Problèmes de sections planes de solides.
* Calculs d'aires et de volumes.

COMPETENCES EXIGIBLES

* Savoir que la section d'une sphère par un plan est un cercle.
* Savoir placer le centre de ce cercle et calculer son rayon connaissant le rayon de la sphère et la distance du plan au centre de la sphère.
* Représenter une sphère et certains de ses grands cercles.
* Connaître la nature des sections du cube, du parallélépipède rectangle par un plan parallèle à une face, à une arrête.
* Connaître la nature des sections du cylindre de révolution par un plan parallèle ou perpendiculaire à son axe.
* Représenter et déterminer les sections d'un cône de révolution et d'une pyramide par un plan parallèle à la base.
* Calculer l'aire d'une sphère de rayon donné.

COMMENTAIRES

On mettra en évidence les grands cercles de la sphère, les couples de points diamétralement opposés. On examinera le cas particulier où le plan est tangent à la sphère. On fera le rapprochement avec les connaissances que les élèves ont déjà de la sphère terrestre, notamment pour les questions relatives aux méridiens et parallèles.

Des manipulations préalables ( sections de solides en polystyrène par exemple) permettent de conjecturer ou d'illustrer la nature des sections planes étudiées. Ce sera une occasion de faire des calculs de longueur et d'utiliser les propriétés rencontrées dans d'autres rubriques ou les années antérieures.

A propos de pyramides, les activités se limiteront à celles dont la hauteur est une arrête latérale et aux pyramides régulières qui permettent de retrouver les polygones étudiés par ailleurs.

Le travail avec un formulaire qui n'exclut pas la mémorisation, permettra le réinvestissement et l'entretien d'acquis des années précédentes : aire des surfaces et volumes, des solides étudiées dans ces classes.

Des activités de comparaison d'aires, d'une part, et de volume, d'autre part, seront autant d'occasions de manipulations de formules et de transformations d'expressions algébriques. Ce travail prend appui sur celui fait en géométrie dans l'espace.

CONTENUS

* Calculs élémentaires sur les radicaux (racines carrées).
* Racine carrée d'un nombre positif.
* Produit et quotient de 2 radicaux.

CONTENUS

Triangle rectangle : relations trigonométriques
COMPETENCES EXIGIBLES

Connaître et utiliser dans le triangle rectangle des relations entre le cosinus, le sinus ou la tangente d'un angle aigu et les longueurs de 2 côtés du triangle.

Utiliser la calculatrice pour déterminer des valeurs approchées :

* du sinus, du cosinus et de la tangente d'un angle aigu donné.
* de l'angle aigu dont on connaît le sinus, le cosinus ou la tangente.

COMMENTAIRES

La définition du cosinus a été vue en 4ème . Le sinus et la tangente d'un angle aigu seront introduits comme rapports de longueurs ou à l'aide du quart de cercle trigonométrique.

OFFICIEL
CONTENU

* Équations et inéquations du premier degré.
* Ordre et multiplication.
* Inéquation du premier degré à 1 inconnue.
* Résolutions de problèmes du premier degré ou s'y ramenant.

COMPETENCES EXIGIBLES

Utiliser le fait que des nombres relatifs de la forme ab et ac sont dans le même ordre que b et c si a est strictement positif, dans l'ordre inverse si a est strictement négatif.

Résoudre une inéquation du premier degré à 1 inconnue à coefficients numériques.

Représenter ses solutions sur une droite graduée.

Résoudre une équation sous la forme AB=0, où A et B désignent 2 expressions du premier degré de la même variable.

Mettre en équation et résoudre un problème conduisant à une équation ou un système de 2 équations du premier degré.
COMMENTAIRES

On pourra s'appuyer dans toute cette partie sur des activités déjà pratiquées dans les classes antérieures, notamment celles de tests par substitution de valeurs numériques à des lettres.

L'étude du signe d'un produit ou d'un quotient de 2 expressions du premier degré de la même variable est, elle, hors programme.

Les problèmes sont issus des différentes parties du programme.

Comme en classe de quatrième, on dégagera à chaque fois les différentes étapes du travail :

* mise en équation
* résolution de l'équation
* et interprétation du résultat.

OFFICIEL
CONTENU

* Fonctions linéaires et fonctions affines.
* Fonction linéaire
* Fonction affine.
* Fonction affine et fonction linéaire associée
* Proportionnalité et traitements usuels sur les grandeurs.
* Applications de la proportionnalité
* Grandeurs composées
* Changements d'unités

COMPETENCES EXIGIBLES

Connaître la notation x -> ax pour une valeur numérique de a fixée.

Déterminer l'expression algébrique d'une fonction linéaire à partir de la donnée d'un nombre non nul et de son image.

Représenter graphiquement une fonction linéaire.

Lire sur la représentation graphique d'une fonction linéaire l'image d'un nombre donné et le nombre ayant une image donnée.

Connaître la notation x -> ax + b pour des valeurs numériques de a et b fixées.

Déterminer une fonction affine par la donnée de 2 nombres et de leurs images.

Représenter graphiquement une fonction affine.

Lire sur la représentation graphique d'une fonction affine l'image d'un nombre donné et le nombre ayant une image donnée.

Dans des situations mettant en jeu des grandeurs, l'une des grandeurs étant fonction de l'autre, représenter graphiquement la situation d'une façon exacte si cela est possible, sinon d'une façon approximative, lire et interpréter une telle représentation
COMMENTAIRES

La définition d'une fonction linéaire, de coefficient a, s'appuie sur l'étude des situations de proportionnalité rencontrées dans les classes précédentes. On pourra recourir à des tableaux de proportionnalité et on mettra en évidence que le processus de correspondance est « je multiplie par a ».

Pour des pourcentages d'augmentation ou de diminution, une mise en évidence similaire peut être faite; par exemple, augmenter de 5% c'est multiplier par 1,05 et diminuer de 5% c'est multiplier par 0,95.

L'étude de la fonction linéaire est aussi une occasion d'utiliser la notion d'image. On introduira la notation x -> ax pour la fonction.

A propos de la notation des images f(2), f(-0,25)... on remarquera que les parenthèses y ont un autre statut qu'en calcul algébrique.

L'énoncé de Thalès permet de démontrer que la représentation graphique d'une fonction linéaire est une droite passant par l'origine ; cette droite a une équation de la forme y=ax. On interprétera graphiquement le nombre a, coefficient directeur de la droite.
C'est une occasion de prendre conscience de l'existence de fonctions dont la représentation graphique n'est pas une droite (par exemple, en examinant comment varie l'aire d'un carré quand la longueur de son côté varie de 1 à 3).

Pour des valeurs de a et b numériquement fixées, le processus de correspondance sera aussi explicité sous la forme «je multiplie par a, puis j'ajoute b». La représentation graphique de la fonction affine peut être obtenue par une translation à partir de celle de la fonction linéaire associée. C'est une droite qui a une équation de la forme y=ax+b.

On interprétera graphiquement le coefficient directeur a et l'ordonnée à l'origine; on remarquera la proportionnalité des accroissements de x et de y.

Pour déterminer la fonction affine associée à une droite donnée dans un repère, on entraînera les élèves à travailler à partir de 2 points pris sur la droite et à exploiter la représentation graphique. On fera remarquer qu'une fonction linéaire est une fonction affine.

Des enregistrements graphiques ou des courbes représentatives de fonctions non affines peuvent servir de support à la construction de tableaux de valeurs ou à la recherche de particularités d'une fonction: coordonnées de points, sens de variation sur un intervalle donné, maximum, minimum. Aucune connaissance spécifique n'est exigible sur ce sujet.

En classe de troisième, il s'agit de compléter l'étude de la proportionnalité commencée de fait dès l'école. De nombreuses occasions sont données de conjecturer ou de reconnaître, puis d'utiliser la proportionnalité de valeurs ou d'accroissements dans les différents domaines et sections du programme. Les situations mettant en jeu les grandeurs restent privilégiées pour mettre en place et organiser les calculs faisant intervenir la proportionnalité, en particulier les pourcentages. Par exemple, au delà des compétences exigible, on pourra étudier les problèmes de mélange.

Les grandeurs produits sont, après les grandeurs quotients déjà rencontrées en classe de quatrième, les grandeurs composées les plus simples. On pourra remarquer que les aires et les volumes sont des grandeurs produits. D'autres grandeurs produits et grandeurs dérivées pourront être utilisées : passagers Ž km, kWh, euro/kWh, ...

En liaison avec les autres disciplines (physique, chimie, éducation civique...), on attachera de l'importance à l'écriture correcte des symboles et à la signification des résultats numériques obtenus.
Fonctions:

Jusqu'à la fin du cycle central, la notion de fonction n'a été utilisée que de manière implicite. Les transformations géométriques étudiées n'ont pas été présentées comme application du plan dans lui-même. Le travail sur la proportionnalité, et plus largement sur l'étude de relations entre données numériques, a permis d'utiliser des formules, des tableaux de nombres et des représentations dans le plan muni d'un repère, en particulier comme outils pour résoudre des problèmes. Ainsi, à l'occasion du traitement de situations numériques ou géométriques, les élèves ont été amenés à passer d'un langage à un autre (par exemple, d'une formule ou d'un graphique à un tableau de nombres). Mais, si des expressions telles que «en fonction de» ou «est fonction de» ont été utilisées, les fonctions numériques associées à ces formules, à ces tableaux ou à ces représentations n'ont pas été explicitées.

La classe de 3ème est donc l'occasion du premier véritable contact des élèves avec cette notion de fonction, dans sa conception actuelle qui fait correspondre à tout élément d'un ensemble un élément d'un autre ensemble. Mais il ne s'agit pas de donner une définition générale de la notion de fonction. Le travail est limité à l'étude de fonctions particulières : les fonctions linéaires et affines. D'autres exemples de fonctions simples seront également utilisés, en particulier pour montrer que toute représentation graphique ne se réduit pas à un ensemble de points alignés (par exemple, en représentant quelques points d'une fonction telle que x -> x², sur un intervalle). Au lycée, la notion de fonction occupera une place centrale, dans le cadre de l'enseignement de l'analyse.

La notion de fonction linéaire permet, en 3 e , d'opérer une synthèse des différents aspects de la proportionnalité rencontrés tout au long du collège et de les exprimer dans un nouveau langage. Toute situation de proportionnalité est modélisable par une fonction linéaire. Dans cette perspective, il convient d'être attentif, avec les élèves, aux questions soulevées par le domaine d'adéquation du modèle mathématique avec la situation traitée, en ayant soin de préciser, chaque fois, le domaine de signification de la fonction (défi nie, elle, sur l'ensemble des réels) dans le contexte de la situation traitée (qui impose souvent une restriction à un intervalle ou à un nombre fini de valeurs).

La fonction linéaire doit apparaître comme un cas particulier de la fonction affine, cette dernière étant associée à la proportionnalité des accroissements.

L'apprentissage des langages permettant de traduire les relations fonctionnelles doit faire l'objet d'une attention toute particulière. La notation x->ax ne sera introduite que pour des valeurs particulières de a, en liaison avec le coefficient de proportionnalité et d'expressions verbales du type « Pour passer d'un nombre à son image, je multiplie par a».

La notation f (x) est également introduite pour des valeurs particulières de la variable (du type f(2), f(-3),...), mais on veillera à différencier avec les élèves le statut des parenthèses dans ce type de notation de leur signification dans un calcul algébrique. Les notations fonctionnelles amènent à utiliser des lettres avec une nouvelle signification : successivement, au collège, les lettres ont ainsi été utilisées de façon « expressive » en référence à des grandeurs (comme dans la formule de l'aire du rectangle), pour désigner des valeurs inconnues (dans les équations), des valeurs indéterminées (dans les identités remarquables, par exemple) et enfin des variables (dans le langage des fonctions). Les difficultés à comprendre le statut différent des lettres, et du signe =, dans ces différents contextes justifient le fait que la notion d'équation de droite ne soit pas abordée au collège.

Le travail sur des situations modélisables par des fonctions classiques est l'occasion de formuler un même problème dans différents cadres et d'habituer les élèves à passer d'un cadre à l'autre, pour interpréter des résultats ou des propriétés : formules, tableaux de nombres, fonctions, représentations graphiques. C'est en particulier ce qui permettra d'utiliser une représentation graphique pour la résolution d'un système d'équations à deux inconnues.

OFFICIEL
CONTENU

Résolution de problèmes conduisant à des équations du premier degré à une inconnue.
COMPÉTENCES EXIGIBLES

Mettre en équation et résoudre un problème conduisant à une équation du premier degré à une inconnue.
COMMENTAIRES

Les problèmes issus d'autres parties du programme conduisent à l'introduction d'équations et à leur résolution.

On dégagera chaque fois sur des problèmes particuliers les différentes étapes du travail :

* Mise en équation
* Résolution de l'équation
* Interprétation du résultat.

Tous les problèmes aboutissant à des équations produits, du type (x - 2) (2x - 3) = 0, sont hors programme.

OFFICIEL
CONTENUS

1. Représentations graphiques. Proportionnalité
2. Applications de la proportionnalité
* Vitesse moyenne. Grandeurs quotients courantes
* Calculs faisant intervenir des pourcentages

COMPÉTENCES EXIGIBLES

Utiliser, dans le plan muni d'un repère, la caractérisation de la proportionnalité sous la forme d'alignement de points avec l'origine.

Utiliser l'égalité d = vt pour des calculs de distance parcourue, de vitesse et de temps. Changer d'unités de vitesse (mètre par seconde et kilomètre par heure).

Mettre en oeuvre la proportionnalité dans des situations simples utilisant à la fois des pourcentages et des quantités ou des effectifs.
COMMENTAIRES

On fera travailler les élèves à la fois sur des exemples et des contre-exemples de situations de proportionnalité.

Les situations où interviennent des vitesses moyennes constituent des exemples riches où le traitement mathématique s'avère particulièrement pertinent, comme l'étude de la vitesse moyenne d'un trajet sur un parcours de 60 km, où l'aller se parcourt à 20 km. h-1 et le retour à 30 km. h-1. Les compétences exigibles se réduisent aux vitesses mais d'autres situations de changements d'unités méritent d'être envisagées: problèmes de change monétaire, consommation de carburant d'un véhicule en litres pour 100 kilomètres ou en kilomètres parcourus par litre.

En liaison avec d'autres disciplines (géographie,...), la notion d'indice pourra être présentée comme un cas particulier du coefficient de proportionnalité, donnant lieu à illustrations et calculs mais en aucun cas à des développements théoriques.

Des situations issues de la vie courante ou des autres disciplines demandent de mettre en oeuvre à la fois un coefficient de proportionnalité, sous forme de pourcentage ou d'indice, et des quantités ou des effectifs. Par exemple, connaissant le pourcentage d'un caractère dans deux groupes d'effectifs différents,déterminer le pourcentage obtenu après réunion des deux groupes.

CONTENUS
Triangle rectangle :
cosinus d'un angle
COMPETENCE

- Utiliser dans un triangle rectangle la relation entre le cosinus d'un angle aigu et les longueurs des côtés adjacents.

Utiliser la calculatrice pour déterminer une valeur approchée :

* du cosinus d'un angle aigu donné ;
* de l'angle aigu dont le cosinus est donné.

COMMENTAIRES

La propriété de proportionnalité des côtés de deux triangles déterminés par deux parallèles coupant deux sécantes permet de définir le cosinus comme un rapport de longueur. Les différentes connaissances relatives au triangle rectangle peuvent être synthétisées, en mettant en évidence que :

*
la donnée de deux côtés permet de déterminer le troisième côté et les deux angles aigus ;
* la donnée d'un côté et d'un angle aigu permet de déterminer les deux autres côtés et l'autre angle aigu.

Les relations métriques dans le triangle rectangle, autres que celles mentionnées dans les compétences sont hors programme.

Cosinus dans le triangle rectangle

CONTENUS

* Enchaînement d'opérations sur les nombres entiers et décimaux positifs.
* Conventions de priorités entre opérations.

Officiel
I Contenu

Symétrie centrale
II Compétences exigibles

* Construire le symétrique d’un point, d’un segment, d’une droite, d’une demi-droite, d’un cercle.
* Construire ou compléter la figure symétrique d’une figure donnée ou de figures possédant un centre de symétrie à l’aide de la règle (graduée ou non), de l’équerre, du compas, du rapporteur.

III Commentaires

Comme en classe de sixième, un travail expérimental permet d’obtenir un inventaire abondant de figures simples. Les propriétés invariantes dans une symétrie centrale sont ainsi progressivement dégagées et comparées avec les propriétés invariantes dans une symétrie axiale.

CONTENU

* Nombres en écriture fractionnaire,
* Multiplication.
* Comparaison, addition et soustraction, les dénominateurs étant égaux ou multiples.