Chapitres
? Pour démontrer que deux droites sont parallèles, vous pouvez vérifier que leurs pentes sont égales (même rapport), ou que les angles qu'elles forment avec une troisième droite sont égaux.
❌ Deux droites sont perpendiculaires si le produit de leurs pentes est égal à -1, ou si les angles qu'elles forment avec une troisième droite sont des angles droits (90 degrés).
Ces critères permettent de confirmer le parallélisme et la perpendicularité entre deux droites dans des contextes variés.
Critère | Deux droites sont parallèles si | Deux droites sont perpendiculaires si |
---|---|---|
Critère des pentes | Les pentes des deux droites sont égales (m1 = m2) | Le produit des pentes des deux droites est -1 (m1 * m2 = -1) |
Critère des angles | Les angles que les deux droites forment avec une troisième droite sont égaux | Les angles que les deux droites forment avec une troisième droite sont des angles droits (90 degrés) |
Critère des équations | Les équations des deux droites ont des coefficients directeurs identiques | Les équations des deux droites ont des coefficients directeurs dont le produit est -1 |
Démontrer que deux droites sont parallèles
Pour démontrer que deux droites sont parallèles, vous pouvez utiliser l'une des méthodes suivantes :
Critère des pentes
??? Si vous avez les équations des deux droites, vous pouvez donc comparer leurs pentes. Deux droites sont parallèles si et seulement si leurs pentes sont égales.
➡️ De façon logique, si les pentes des deux droites sont égales, vous pouvez conclure qu'elles sont parallèles.
Critère des angles
Si vous travaillez avec des segments de droites ou des droites non définies par des équations, vous pouvez utiliser les propriétés des angles pour montrer qu'elles sont parallèles.
? Deux droites sont parallèles si les angles qu'elles forment avec une troisième droite (appelée ligne de référence) sont égaux.
➡️ Exemple : Vous avez deux droites, (AB) et (CD), et une troisième droite (EF) comme ligne de référence. Si les angles ∠AEG et ∠CEH sont égaux, et les angles ∠DEI et ∠BGJ sont égaux, alors les droites (AB) et (CD) sont parallèles.
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Critère des côtés correspondants
Si vous travaillez avec des figures géométriques, vous pouvez montrer que deux droites sont parallèles en utilisant le critère des côtés correspondants.
? Deux droites sont parallèles si les côtés correspondants de deux triangles sont proportionnels.
➡️ Exemple : Vous avez deux droites, (MN) et (PQ), et un troisième point O. Si les segments MO, NO, PO, et QO forment un quadrilatère où les côtés opposés sont parallèles, alors les droites (MN) et (PQ) sont parallèles.
Démontrer que deux droites sont perpendiculaires
Pour démontrer que deux droites sont perpendiculaires, vous pouvez utiliser le critère des pentes, le critère des angles, ou le critère des produits des pentes, en fonction des informations dont vous disposez.
Voici comment démontrer que deux droites sont perpendiculaires en utilisant chacune de ces méthodes :
Critère des pentes
Deux droites sont perpendiculaires si et seulement si le produit de leurs pentes est égal à -1. Autrement dit, si m1 et m2 sont les pentes de deux droites, alors elles sont perpendiculaires si m1 * m2 = -1.
➡️ Exemple : Droite 1 : y = 2x + 3 (pente m1 = 2) Droite 2 : y = -1/2x + 4 (pente m2 = -1/2)
Dans cet exemple, m1 * m2 = 2 * (-1/2) = -1, ce qui signifie que les deux droites sont perpendiculaires.
Critère des angles
? Si vous avez deux droites et une troisième droite comme ligne de référence, vous pouvez montrer qu'elles sont perpendiculaires si les angles qu'elles forment avec la ligne de référence sont des angles droits (90 degrés).
➡️ Exemple : Droite 1 : (AB) Droite 2 : (CD) Ligne de référence : (EF)
Si les angles ∠AEG et ∠CEH sont des angles droits (90 degrés), alors les droites (AB) et (CD) sont perpendiculaires.
? Propriété de cours de maths seconde : Si deux droites sont parallèles et qu'une troisième droite est perpendiculaire à l'une, alors elle est perpendiculaire à l'autre.
Critère des produits des pentes
Si vous avez les équations des deux droites, vous pouvez montrer qu'elles sont perpendiculaires en vérifiant que le produit de leurs pentes est égal à -1.
? Cela rejoint le critère des pentes, mais avec des équations.
➡️ Exemple : Droite 1 : y = 3x - 2 (pente m1 = 3) Droite 2 : y = -1/3x + 4 (pente m2 = -1/3)
Dans cet exemple, m1 * m2 = 3 * (-1/3) = -1, ce qui signifie que les deux droites sont perpendiculaires.
Notez que ces méthodes peuvent varier en fonction du contexte et des informations dont vous disposez. Vous devez utiliser la méthode la plus appropriée en fonction de la situation.
Exercice ?
Démontrer que les droites (d) et (e) sont parallèles ?
Énoncé : Soit un quadrilatère ABCD avec les côtés AB et CD. Les points E et F sont les milieux de ces côtés, c'est-à-dire que AE = EB et CF = FD. Les segments AC et BD se croisent en un point G. Vous devez démontrer que les droites (AG) et (EF) sont parallèles.
Consignes ?
- Tracez un schéma clair du quadrilatère ABCD en plaçant les points A, B, C, et D.
- Marquez les points E et F comme les milieux des côtés AB et CD, respectivement.
- Tracez les segments AC et BD, qui se croisent en un point G.
- Démontrez que les droites (AG) et (EF) sont parallèles en utilisant des arguments géométriques.
Correction ✍️
Pour démontrer que les droites (AG) et (EF) sont parallèles, nous allons utiliser la propriété des triangles semblables.
- Commençons par noter que les segments AE, EB, CF et FD sont égaux, car E et F sont les milieux des côtés correspondants du quadrilatère ABCD. Cela signifie que AE = EB = CF = FD.
- Maintenant, considérons les triangles AEG et FEG. Les deux triangles partagent un côté EG commun, et nous avons déjà établi que AE = EF et AG = FG (car G est le point d'intersection de AC et BD).
- En utilisant le côté EG commun, les côtés proportionnels AE = EF et AG = FG, nous pouvons conclure que les triangles AEG et FEG sont semblables par le critère de la ressemblance des triangles (côté-côté-côté).
- Lorsque deux triangles sont semblables, cela signifie que les angles correspondants sont égaux. Donc, les angles ∠AEG et ∠FEG sont égaux.
- Maintenant, regardons le triangle EFG. Les angles ∠AEG et ∠FEG sont égaux, ce qui signifie que les angles opposés ∠GEF et ∠GFE dans le triangle EFG sont égaux.
- En utilisant la propriété des angles opposés parallèles, si les angles ∠GEF et ∠GFE dans le triangle EFG sont égaux, alors les droites (AG) et (EF) sont parallèles.
Ainsi, nous avons démontré que les droites (AG) et (EF) sont parallèles à l'aide de la propriété des triangles semblables.
À présent, vous voici paré pour comparer toutes les droites possibles en maths. À vous de jouer !
Si vous désirez une aide personnalisée, contactez dès maintenant l’un de nos professeurs !
si les droites (AA) (BB) (CC) (DD) sont parallèles et coupent qu’on peut nous faire pour cela merci!
Bonjour, avez-vous essayé de contacter l’un de nos professeurs pour recevoir une aide personnalisée ? Excellente journée ! 🙂
On peut rajouter, en géométrie analytique, les coefficients directeurs égaux et ,en géométrie vectorielle, les vecteurs directeurs et les vecteurs normaux respectivement colinéaires.