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théorème de thalès


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En pratique, le théorème de Thalès permet de calculer des rapports de longueur et de mettre en évidence des relations de proportionnalité en présence de parallélisme.

Théorème de Thalès :Soit un triangle ABC, et deux points D et E des droites (AB) et (AC) de sorte que la droite (DE) soit parallèle à la droite (BC) (comme indiqué sur la figure ci-dessous). Alors on a :
dfrac{AD}{AB}=dfrac{AE}{AC}=dfrac{DE}{BC}.
Thales theorem 1.svg Thales theorem 2.svg
Deux configurations possibles du théorème de Thalès.

Le théorème de Thalès démontre que les triangles ABC et ADE sont homothétiques : il existe une homothétie de centre A envoyant B sur D et C sur E. L'un des rapports donnés ci-dessus est au signe près le rapport de l'homothétie. Plus précisément, le rapport de l'homothétie est + AD / AB dans la première configuration et AD / AB dans la seconde. Le théorème de Thalès est parfois énoncé plus simplement en affirmant qu'une droite parallèle à un des côtés du triangle coupe ce triangle en un triangle semblable.

Il peut être mis en œuvre dans différentes constructions géométriques faisant intervenir compas et règle. Par exemple, il peut justifier une construction permettant de diviser un segment en un nombre donné de parts égales.

Pour être plus rigoureux, l'énoncé ci-dessus donné nécessite l'utilisation d'une distance euclidienne pour donner un sens aux longueurs mentionnées (AB, BC, ...). Un énoncé plus général et précis est donné dans le cadre de la géométrie affine. Dans ce cadre, la notion de longueur est remplacée par celle de mesure algébrique, et seul le rapport a un sens (voir plus loin).

Théorème réciproque [modifier]

Le théorème de Thalès (en dimension 2), dans son sens direct, permet de déduire certaines proportions dès que l'on connaît un certain parallélisme. Sa réciproque permet de déduire un parallélisme dès que l'on connaît l'égalité de certains rapports.

Réciproque du théorème de Thalès : Dans un triangle ABC, supposons donnés des points D et E appartenant respectivement au segment [AB] et [AC]. Si les rapports AD/AB et AE/AC sont égaux, alors les droites (DE) et (BC) sont parallèles.

Il est à remarquer que la démonstration de cette réciproque se déduit du théorème. En effet, considérons un point E' du segment [AC] tel que (DE') soit parallèle à (BC). Alors les points A, E', C sont alignés dans cet ordre et AE'/AC = AD/AB = AE/AC donc il vient que AE' = AE. Or il n'existe qu'un seul point situé entre A et C vérifiant cette propriété donc E' = E . Par conséquent, (DE)=(DE') est parallèle à (BC).

Il est à noter que ce qui est appelé "le théorème réciproque de Thalès" n'est pas la réciproque, au sens logique du terme, du théorème initial.

Théorème de la droite des milieux [modifier]

Article détaillé : Théorème des milieux.
Theoreme des milieux-1.png

Le théorème des milieux est une spécialisation du théorème de Thalès, pour laquelle les points D et E correspondent aux milieux des segments [AB] et [AC]. Si une droite passe par les milieux de deux côtés d'un triangle, elle est parallèle à la droite qui supporte le troisième côté ; et la longueur joignant les milieux des deux côtés est égale à la moitié de la longueur du troisième côté:

Théorème de la droite des milieux : Soit un triangle ABC, et nommons D et E les milieux respectifs de [AB] et [AC]. Alors les droites (DE) et (BC) sont parallèles et on a : 2.DE = BC.

La réciproque du théorème de Thalès justifie que les deux droites sont parallèles ; de plus, le théorème de Thalès s'applique et il vient :

dfrac{DE}{BC}=dfrac{AD}{AB}=dfrac{1}{2}.

Enseignement et appellations [modifier]

Ce théorème est connu sous le nom de théorème de Thalès dans l'enseignement des mathématiques en France, en Suisse, etc.[1].

Aucun texte ancien ne semble attribuer la découverte d'un résultat semblable à Thalès. La première référence où une telle attribution est faite se trouve dans les Éléments de géométrie de Rouché et Comberousse en 1883[2]. Une des causes de cette attribution serait l'incitation faite aux agrégatifs à la fin du XIXe siècle d'attribuer aux résultats des noms de mathématiciens pour qu'ils s'intéressent à l'histoire des mathématiques.

C'est aussi sous le nom de théorème de Thalès que le résultat est connu dans les pays de la Méditerranée et dans les pays de l'Europe de l’Est ou du Nord[3]. Cependant, dans les pays de langue anglaise et en Allemagne, ce résultat est connu sous le nom de théorème d'intersection.

L'appellation théorème de Thalès désigne dans ces pays la propriété selon laquelle tout angle inscrit dans un demi-cercle est droit[4] (lire Théorème de Thalès (cercle)).

En Suisse, le théorème est principalement abordé au moyen de la « petite propriété de Thalès » telle qu'elle est enseignée en France. Le « théorème de Thalès suisse » exprime par contre le carré de la hauteur dans un triangle rectangle.

Origines [modifier]

Rien n'atteste de la connaissance ou non du théorème de Thalès ou d'un résultat similaire avant la (lente) apparition de l'écriture. Les premières traces connues et incontestables de l'utilisation de connaissances mathématiques sont des textes pragmatiques provenant des premières grandes civilisations maitrisant l'écriture. Les textes les plus anciens traitent tous de numération, c'est-à-dire de l'art du calcul, en particulier de la multiplication, de la division et de l'extraction de racines. Il n'est pas étonnant que ces textes soient les premiers : sans la maitrise de cet art, le théorème de Thalès n'a pas d'utilité[5]. Les premières traces d'une connaissance du théorème ou d'un substitut proche remontent au IIe millénaire av. J.-C., à l'age du bronze, à la fois en Égypte antique et en Mésopotamie dans la civilisation babylonienne.

Civilisation babylonienne [modifier]

Article détaillé : Mathématiques babyloniennes.

La tablette MLC 1950 (datée entre -1900 et -1600)[6] décrit un exercice dans lequel le scribe cherche à calculer les longueurs des bases d'un trapèze rectangle à partir d'informations sur l'aire du trapèze, sa hauteur et la hauteur du triangle correspondant. Les données sont indiquées sur la figure ci-contre (en notation sexagésimale). Le scribe calcule :

  • la demi-somme des longueurs cherchées comme le rapport de l'aire par la hauteur (d'autres tablettes confirment que la formule donnant l'aire du trapèze était connue[7]) ;
  • la demi-différence par application d'une formule non expliquée ; en notant A l'aire du trapèze BDEC, elle s'écrit aujourd'hui littéralement :
dfrac{BC-DE}{2}=dfrac{A}{2AD+BD}.

Roger Caratini explique comment obtenir cette formule en appliquant la petite propriété de Thalès aux triangles ABC et ADE d'une part, et aux triangles CBA et CFE d'autre part. Il déduit de ce raisonnement que le scribe possédait « un certain nombre de connaissances dans le domaine de la géométrie élémentaire, en particulier les théorèmes fondamentaux sur la similitude des triangles » (donc, le théorème de Thalès ou un substitut)[8]. Cependant, le problème est présenté par sa figure sans que les hypothèses soient énoncées ;

Démonstration possible de la formule [modifier]

Le parallélogramme BDEF admet un angle droit en B, et deux de ses côtés sont par hypothèses parallèles : c'est donc un rectangle. En particulier, la droite (EF) est parallèle à (AB). L'application de la petite propriété de Thalès aux triangles CBA et CFE donne :
dfrac{BC-DE}{DE}=dfrac{BD}{AD} ou encore dfrac{BC-DE}{BD}=dfrac{DE}{AD}.
Comme la droite (DE) est parallèle à la droite (BC), une nouvelle application da la propriété de Thalès donne :
dfrac{AD}{AB}=dfrac{DE}{BC} ou encore dfrac{BC}{AB}=dfrac{DE}{AD}.
D'où on peut déduire :
BC+DE=(AB+AD).dfrac{BC-DE}{BD}=dfrac{2.A}{BD}.
Par conséquent, on en déduit :
dfrac{BC-DE}{2}=dfrac{A}{2AD+BD}.

Égypte antique [modifier]

Article détaillé : Mathématiques en Égypte antique.
Le papyrus Rhind contient un équivalent du théorème de Thalès.

De la civilisation égyptienne, seuls quatre papyrus offrent des résolutions de problèmes mathématiques. Les égyptologues déduisent les connaissances mathématiques de l'Égypte antique indirectement des documents administratifs traitant des crues du Nil, du calcul des impôts, des répartitions de terres cultivables, du dessin des champs après la destruction des repères suite aux crues[9]... Selon certains, les pyramides de Gizeh démontreraient un savoir géométrique mis au service de l'architecture[10]. Cependant, selon d'autres, l'absence de tables numériques montre un faible intérêt pour les mathématiques en dehors de ses applications[réf. nécessaire].

Le plus célèbre des quatre papyrus est le papyrus Rhind, du nom d'Alexander Henry Rhind (1833-1863), un antiquaire écossais qui l'achèta en 1858. Il aurait été rédigé par le scribe Ahmès sous le pharaon Apophis Âa-ouser-rê (vers -1550), reprenant le contenu d'un papyrus non retrouvé rédigé sous le règne du pharaon Amenemhat II (vers -1850).

Sylvia Couchoud, une égyptologue, étudie[11] ce papyrus avec attention. Outre les informations qu'il fournit sur les connaissances en arithmétique et en algèbre, il offre l'énoncé du théorème de Thalès, appelé seqet[12], appliqué à un exemple numérique.

Grèce antique [modifier]

Une édition des Éléments d'Euclide.

La civilisation grecque antique est différente de celle de l'Égypte et de Babylone. La philosophie et la beauté y sont des sujets essentiels. Il n'est donc pas étonnant que les mathématiques grecques n'ont plus pour premier objectif la résolution de problèmes pragmatiques, mais celle de problèmes théoriques[13]. Pythagore établit une géométrie fondée sur des principes, qui deviendront plus tard des axiomes pour accéder à une approche non expérimentale et purement spéculative et intellectuelle[14]. Pour Platon, les mathématiques constituent la base de l'enseignement des Rois-philosophes de la cité idéale[15]. La géométrie prend réellement ses racines dans la civilisation grecque.

Une vision de cette nature modifie radicalement la formulation du théorème de Thalès, dont on trouve la première démonstration écrite connue dans les Eléments d'Euclide[16]. Trois éléments essentiels ont changé. Le théorème est énoncé de manière parfaitement générale, à la différence des Égyptiens qui décrivent ce résultat à l'aide d'un exemple, ou des Babyloniens qui semblent utiliser implicitement le résultat. Précédemment, les traités de mathématiques se présentaient comme une suite de techniques à même de trouver le bon résultat. La notion de démonstration était absente. Enfin, la réciproque est énoncée, ce qui est aussi une première.

Le calcul de la hauteur d'une pyramide, une légende [modifier]

le théorème de l'article doit son nom en France à Thalès de Milet.

Certains textes littéraires de l'Antiquité grecque font référence aux travaux de Thalès de Milet au VIe siècle av. J.-C., dont aucun écrit ne nous est parvenu. Cependant, aucun texte ancien n'attribue la découverte théorème à Thalès[17]. Dans son commentaire sur les Éléments d'Euclide, Proclos[18] affirme que Thalès aurait rapporté le résultat de son voyage en Égypte. Hérodote rapporte la même chose et précise qu'il est l'un des sept sages fondateurs de cette civilisation[19]. Une anecdote célèbre rapporte que Thalès obtint l'admiration de Pharaon en mesurant la hauteur d'une des pyramides. Plutarque indique que :

«  Dressant seulement à plomb un bâton au bout de l’ombre de la pyramide et se faisant deux triangles avec la ligne que fait le rayon du soleil touchant aux deux extrémités, tu montreras qu’il y avait telle proportion de la hauteur de la pyramide à celle du bâton, comme il y a de la longueur de l’ombre de l’un à l’ombre de l’autre[20]. »

Cette légende est reprise par d'autres auteurs. Diogène Laërce écrit :

«  Hiéronyme dit que Thalès mesura les pyramides d'après leur ombre, ayant observé le temps où notre propre ombre égale notre hauteur.[21]. »

Thales theorem 6.png

Bernard Vitrac émet de sérieux doutes sur la réalité de ces précisions : « Plus ils sont tardifs, plus ils sont capables de donner des détails sur le procédé utilisé »[22]. Plutarque parle seulement de proportionnalité entre les hauteurs de la pyramide et du bâton, d'une part, et des longueurs de leurs ombres projetées, d'autre part. Laërce évoque l'égalité des côtés adjacents à un angle droit d'un triangle rectangle isocèle. La légende selon laquelle Thalès aurait inventé « son » théorème en voulant calculer la hauteur d'une pyramide est aujourd'hui véhiculée et embellie sur de nombreux sites internet, par de nombreux journaux de vulgarisation et par certains auteurs[23].

Selon Michel Serres, cette histoire était utilisée et transmise dans la civilisation grecque antique comme un moyen mnémotechnique : « Dans une culture de tradition orale, récit tient lieu de schéma, scène vaut intuition, où l'espace vient en aide à la mémoire. [...] Mieux vaut reconnaître, alors, dans le récit, moins une légende originaire que la forme même de la transmission ; il communique un élément de science plus qu'il ne témoigne de son émergence »[24].

Cette histoire atteste aussi de l'origine probable de la géométrie : le calcul des distances et des tailles caractéristiques d'objets inaccessibles (ici la hauteur d'une pyramide) a probablement conduit l'homme à s'interroger sur les relations des distances entre des points de repère. Cette interrogation l'a naturellement conduit à s'intéresser à la trigonométrie, d'où l'émergence de résultats comparables au théorème de Thalès[25]. Par ailleurs, on trouve dans les différentes versions un objet de référence, un axe, un essieu, ou Thalès lui-même, utilisé comme un gnomon, terme signifiant « instrument du savoir, de la compréhension ». Certains voient dans l'origine babylonienne de ce terme une preuve supplémentaire que l'énoncé du théorème et sa démonstration seraient d'origine babylonienne[26]

Une version de la légende de la découverte du résultat par Thalès pourrait être la suivante.

Version de la légende [modifier]

Lors d'un voyage en Égypte, Thalès aurait visité les pyramides construites plusieurs siècles plus tôt. Admirant ces monuments, il aurait été mis au défi d'en calculer la hauteur. Thalès aurait donc entrepris une mesure des pyramides, dont le principe reposerait sur le concept de triangles semblables et de proportionnalité. Thalès aurait remarqué qu'à cette époque de l'année, à midi, l'ombre portée d'un homme ou d'un bâton égalait la taille de l'homme ou la longueur du bâton. Les rayons de soleil pouvant être supposés parallèles, Thalès en aurait déduit qu'il en serait de même pour la hauteur de la pyramide et son ombre projetée.
Encore fallait-il être capable de mesurer l'ombre projetée : il aurait repéré le sommet de l'ombre projetée de la pyramide, mais pour la mesurer dans son entier, il lui aurait fallu partir du centre de la pyramide qui n'était pas accessible. Thalès aurait bénéficié d'un atout supplémentaire : non seulement l'ombre portée égalait la hauteur de la pyramide, mais les rayons du soleil étaient perpendiculaires à une arête de la base. Le sommet de l'ombre de la pyramide se serait alors trouvé sur la médiatrice d'un côté de la base. Il lui aurait suffit de mesurer la distance séparant l'extrémité de l'ombre et le milieu du côté, d'ajouter à cette longueur un demi-côté pour obtenir la hauteur de la pyramide.
Le fait que le sommet de l'ombre de la pyramide soit sur la médiatrice d'un côté à midi ne tient absolument pas du hasard, mais au fait que les pyramides sont orientées plein sud ou plein ouest. La pyramide de Khéops est située à une latitude de 30°, la longueur de l'ombre égale celle du bâton lorsque le soleil fait 45° avec la verticale. L'angle que forme le soleil avec la verticale varie au cours de l'année entre 6,73° (au plus fort de l'été) et 53,27° (au plus fort de l'hiver) et ne fait un angle de 45° que deux fois dans l'année (le 21 novembre et le 20 janvier). Ce serait un hasard extraordinaire que Thalès se fût trouvé là à cet instant précis. À toute autre période de l'année, la longueur de l'ombre est proportionnelle à la hauteur.
Thalès aurait lui-même fait ces remarques. Il serait retourné et aurait expliqué que la hauteur de la pyramide est proportionnelle à la longueur de son ombre. En comparant la longueur de l'ombre et la hauteur d'un bâton planté, il lui aurait été facile de connaître le coefficient de proportionnalité et de l'appliquer ensuite à l'ombre de la pyramide pour en déterminer sa hauteur. Plutarque ne dit d'ailleurs pas autre chose(ou?).

Démonstrations [modifier]

Preuve mentionnée par Euclide [modifier]

Disposition des points

Dans l'approche d'Euclide, les points sont des éléments indivisibles à partir desquels les objets géométriques se définissent. Dans cette perspective, les notions de segments et de droites ne sont pas différenciées. La propriété démontrée par Euclide n'est pas exactement le théorème comme il est cité de nos jours. Une traduction datant de 1632 est la suivante :

Livre VI, Proposition 2 : « Si on mène une ligne droite parallèle à l'un des cotez d'un triangle, laquelle coupe les deux autres cotez ; elle les coupera proportionnellement ; & si les deux côtés d'un triangle sont coupés proportionnellement, la ligne coupante sera parallèle a l'autre cotez[27]. »
Si on mène une ligne droite parallèle à l'un des côtés d'un triangle, laquelle coupe les deux autres côtés, elle les coupera proportionnellement. Et si les deux côtés d'un triangle sont coupés proportionnellement, la ligne coupante sera parallèle à l'autre côté.

Les données de ce théorème sont donc :

  • Un triangle, par définition délimité par trois lignes droites (segments) AB, BC, et CA ;
  • Une ligne droite DE parallèle à la ligne droite BC intersectant AB en D et AC en E.

Les notations sont celles introduites par Euclide après l'énoncé ; l'illustration ci-contre donne la disposition des points. La conclusion donnée est :

« AD fera à DB ce que AE est à EC. »

Autrement dit, en écriture mathématique actuelle :

dfrac{BD}{DA}=dfrac{CE}{EA}.

La démarche d'Euclide se base sur le fait que l'aire d'un triangle est égale à la moitié de la longueur de sa hauteur, par-rapport à une base (ou côté) quelconque, multipliée par la longueur de la base en question. Il constate que les hauteurs des triangles DEB et DEC par rapport à leur base commune DE ont la même longueur. Ces deux triangles ont par conséquent la même aire, et a fortiori, ils ont donc le même ratio (d'aires) avec n'importe quelle aire non nulle, et en particulier celle du triangle DEA. Comme les hauteurs des triangles DEB et DEA par rapport, respectivement, aux bases BD et DA, sont confondues, Euclide en déduit que le ratio de DEB par DEA est le même que le ratio de BD par DA. Par analogie, le ratio de DEC par DEA est le même que le ratio de CE par EA. La proposition 11 du livre V énonce que les ratios qui sont les mêmes qu'un autre ratio sont les mêmes. Euclide en déduit donc que le ratio de BD par DA est le même que le ratio de CE par EA.

Le raisonnement proposé par Euclide se traduit aujourd'hui par les égalités suivantes :

dfrac{BD}{DA}=dfrac{Aire(DEB)}{Aire(DEA)}=dfrac{Aire(DEC)}{Aire(DEA)}=dfrac{CE}{EA}.

Les égalités s'appuient sur les constatations suivantes :

  • Les triangles DEB et DEA ont une hauteur commune h issue de E. Donc, leur aire est respectivement ½BD×h et ½DA×h.
  • Les triangles DEB et DEC ont une base commune DE, et les sommets opposés B et C sont par hypothèses sur une droite parallèle à (DE).
  • Enfin, les triangles DEC et DEA ont une hauteur commune h' issue de D. Donc, leur aire est respectivement ½CE×h' et ½EA×h'.

Sous forme de tableau de proportionnalité :

BD DEB DEC CE
DA DEA DEA EA

Preuve purement vectorielle [modifier]

Il faut se poser la question de la validité d'une démonstration vectorielle du théorème de Thalès. En effet, la géométrie vectorielle s'appuie souvent sur une définition géométrique des vecteurs, définition dans laquelle le théorème de Thalès joue un rôle prépondérant quand il s'agit d'affirmer que k(vec{u} + vec{v}) = kvec{u} + kvec{v}.

Mais on peut toutefois s'intéresser à une écriture possible du théorème de Thalès et sa justification grâce aux opérations vectorielles. Ce qui pourrait permettre de généraliser le théorème de Thalès à tout espace affine euclidien associé à un espace vectoriel.

Dire que D est sur (AB) c'est écrire qu'il existe un réel x tel que overrightarrow{AD}=xoverrightarrow{AB}.

De même, dire que E est sur (AC), c'est écrire qu'il existe un réel y tel que overrightarrow{AE}=yoverrightarrow{AC}.

Enfin, dire que les droites (ED) et (BC) sont parallèles, c'est écrire qu'il existe un réel t tel que overrightarrow{DE}= t overrightarrow{BC}.

Les égalités précédentes et la relation de Chasles permettent d'écrire que :

yoverrightarrow{AC}=overrightarrow{AE}
yoverrightarrow{AB}+ yoverrightarrow{BC}=overrightarrow{AD}+overrightarrow{DE}
yoverrightarrow{AB}+ yoverrightarrow{BC}=xoverrightarrow{AB}+ toverrightarrow{BC}

L'écriture suivant les vecteurs overrightarrow{AB} et overrightarrow{BC} se doit d'être unique car ces vecteurs ne sont pas colinéaires. Donc y=x, et y=t,

On obtient donc les trois égalités:

overrightarrow{AD}=xoverrightarrow{AB}
overrightarrow{AE}=xoverrightarrow{AC}
overrightarrow{DE}=xoverrightarrow{BC}.

L'avantage de cet énoncé et de cette démonstration est que cela n'oblige pas à traiter les différents cas de configuration évoqués plus haut.

Généralisations du théorème de Thalès [modifier]

Cas de trois droites parallèles [modifier]

Disposition des points et des droites.

Toujours en dimension 2, le théorème de Thalès désigne souvent l'énoncé suivant, qui utilise les mesures algébriques :

Théorème de Thalès :[réf. nécessaire] Soient deux droites d et d' (du plan réel euclidien) et trois droites parallèles (AA'), (BB') et (CC') intersectant d et d' respectivement en A et A', en B et B', et en C et C', comme indiqué sur la figure ci-contre. Alors :
dfrac{overline{AB}}{overline{AC}}=dfrac{overline{A'B'}}{overline{A'C'}}.

Cette conclusion équivaut à l'une des deux égalités suivantes :

dfrac{overline{AB}}{overline{BC}}=dfrac{overline{A'B'}}{overline{B'C'}} ou dfrac{overline{BC}}{overline{AC}}=dfrac{overline{B'C'}}{overline{A'C'}} ;

ou encore à :

dfrac{overline{A'B'}}{overline{AB}}=dfrac{overline{B'C'}}{overline{BC}}=dfrac{overline{A'C'}}{overline{AC}}.

Si on néglige les mesures algébriques, le premier énoncé donné du théorème de Thalès est la spécialisation du second au cas où deux points sont confondus (par exemple A et A'). En considérant la parallèle à d' passant par A le second énoncé se déduit du premier.

Il est possible de donner une démonstration de ce théorème à partir de l'axiomatique du plan arguésien dégagée au XXe siècle[28].

En dimension supérieure [modifier]

Souvent énoncé comme un théorème de géométrie plane, le théorème de Thalès se généralise sans difficulté en dimension supérieure, notamment en dimension 3. L'utilisation de droites parallèles est remplacée par des hyperplans parallèles ; les droites (d) et (d') n'ont pas à être supposées coplanaires :

Théorème de Thalès[29] : Soient (d) et (d') deux droites d'un même espace affine ; et Ha, Hb et Hc trois hyperplans parallèles. On suppose en outre que la droite (d) intersecte les hyperplans respectivement en A, B, C, et de même que la droite (d') respectivement en A', B' et C'. Alors, on a :

{overline{AB}overoverline{AC}}={overline{A'B'}overoverline{A'C'}}

Quand les deux droites (d) et (d') ne sont pas coplanaires, ce théorème connait une réciproque sous la forme suivante : quand les points A, B, C distincts sur (d) et les points A', B', C' distincts sur (d') vérifient l'égalité des rapports de mesure algébrique ci-dessus, il existe alors trois plans parallèles contenant le premier A et A', le second B et B' et le troisième C et C'[30].

Preuve utilisant une projection affine [modifier]

Dans son livre, Marcel Berger propose une preuve algébrique de la version du théorème de Thalès en dimension supérieure[31]. Sa preuve ne s'appuie pas sur une approche axiomatique de la géométrie, mais sur la définition actuelle d'espace affine et vectoriel.

La preuve de Marcel Berger consiste à construire une bijection affine f entre les deux droites d et d' envoyant A sur A', B sur B', et C sur C'. Il est possible de déduire de la définition d'une application affine qu'une bijection affine entre droites affines préserve le rapport. Donc :

{overline{AB}overoverline{AC}}={overline{f(A)f(B)}overoverline{f(A)f(C)}}={overline{A'B'}overoverline{A'C'}}

Pour construire effectivement f, Marcel Berger propose de munir l'ensemble des hyperplans parallèles à Ha d'une structure de droite affine (structure quotient), de sorte que l'application qui à un point de d (ou bien de d') associe l'hyperplan passant par ce point et parallèle à Ha soit une application affine. Sans introduire la notion d'espace quotient, on peut aussi[32] définir l'application f comme la restriction à d de la projection sur la droite d' parallèlement à Ha. Par définition, f envoie effectivement A sur A', B sur B', et C sur C'. L'inverse de f se définit comme la restriction à la droite d' de la projection sur d parallèlement à Ha.

Conservation des birapports par les projections [modifier]

Le birapport est un invariant projectif associé à quatre points. Le théorème de conservation des birapports par projection est lié de près au théorème de Thalès, l'un pouvant sans grand mal se déduire de l'autre[33].

De même que les trois droites parallèles du théorème de Thalès peuvent être remplacées par des hyperplans parallèles dans un espace affine de dimension supérieure à 2, les quatre droites concourantes de ce théorème de conservation des birapports peuvent être remplacées par des hyperplans appartenant à un même faisceau en dimension supérieure.

L'intérêt de ce point de vue est de souligner l'analogie du « rapport » {overline{AB}}over{overline{AC}} intervenant dans le théorème de Thalès avec le birapport utilisé en géométrie projective : le premier est laissé invariant par une transformation affine d'une droite affine vers une autre exactement comme le second est laissé invariant par une transformation projective d'une droite projective vers une autre.

Applications du théorème de Thalès [modifier]

Algèbre géométrique [modifier]

Le théorème de Thalès offre des égalités entre diverses fractions. Si les droites et les triangles appartiennent à la branche mathématique appelée géométrie, les fractions font partie de l'algèbre. Le fait que le théorème de Thalès offre des égalités sur les fractions en fait une méthode de démonstration qui s'applique à l'algèbre. Il est possible d'établir toutes les lois régissant le comportement des fractions et par là, les mécanismes qui permettent de venir à bout de toutes les équation du premier degré. Cette démarche est décrite dans l'article Algèbre géométrique.

Résultats de géométrie projective et rapport avec les homothéties [modifier]

En géométrie, le théorème de Thalès ou sa réciproque peuvent être utilisés pour établir des conditions d'alignement ou de parallélisme. Sans faire appel aux notions de droite projective, ils permettent d'obtenir des versions satisfaisantes des résultats relevant en réalité de la géométrie projective. Le théorème de Thalès peut être utilisé comme substitut des homothéties dans les démonstrations.

  • Théorème de Ménélaüs : Étant donnés un triangle ABC et trois points A', B' et C' appartenant respectivement aux droites (BC), (AC) et (AB) ; les points A', B' et C' sont alignés si :
dfrac{overline{A'C}}{overline{A'B}}.dfrac{overline{B'A}}{overline{B'C}}.dfrac{overline{C'B}}{overline{C'A}}=1
  • Théorème de Ceva : Étant donnés un triangle ABC et trois points A', B' et C' appartenant respectivement aux droites (BC), (AC) et (AB) ; les droites (AA'), (BB') et (CC') so

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