Chapitres
- 01. Origine
- 02. Rappels
- 03. Formule
- 04. Démonstration du potentiel de Yukawa
- 05. Exercice
Origine
Le potentiel de Yukawa tire son nom d'un physicien japonais éponyme. Hideki Yukawa a démontré qu'un potentiel provient de l'échange d'un champ scalaire. Le potentiel de Yukawa explique que comme la particule médiatrice du champ possède une masse, sa force a une portée inversement proportionnelle à sa masse et que dans le cas d'une masse nulle, le potentiel de Yukawa devient équivalent à celui d'un potentiel coulombien et sa portée est donc infinie.
Un champ scalaire est défini par plusieurs variables contenues dans une fonction. Cette dernière associe un nombre unique à chaque point de l’espace. Ce nombre est appelé scalaire. On utilise les champs scalaires en physique car ils en expliquent de nombreux phénomènes comme la pression atmosphérique ou encore les flux thermiques et la température de l’air
Selon que le potentiel soit négatif ou positif, on peut en déduire si la force est attractive ou répulsive. Quand on a un potentiel négatif, la force est attractive et quand on a un potentiel positif, la force est répulsive.
Loi de Coulomb
La loi de Coulomb est une loi de physique électrostatique. Elle exprime la force électrique qui existe entre deux particules chargées. Son nom vient du physicien Charles-Augustin Coulomb. Il l'a en effet énoncée en 1785 et a ainsi donné naissance à l'électrostatique. Sa loi dit que l'intensité de la force électrostatique entre deux charges électriques est proportionnelle au produit des deux charges et est inversement proportionnelle au carré de la distance entre les deux charges. La force est portée par la droite passant par les deux charges. Le champ doit varier comme le carré inverse de la distance entre les charges à une précision de 0,02 sur l'exposant avec l'aide d'un dispositif appelé balance de Coulomb. Cette balance est constituée d'un fil de torsion en argent sur lequel est fixé des matériaux chargés. Ainsi, la loi d'attraction entre deux charges ponctuelles notées q1 et q2 , fixes dans le référentiel défini et séparées par une distance r, se définit ainsi :
- La force est dirigée selon la droite reliant les deux charges ;
- Elle est attractive si les charges sont de signes opposée et répulsive sinon ;
- Son intensité est proportionnelle aux valeurs de q1 et q2 et varie en raison inverse du carré de la distance r.
Il est alors possible de traduire ces caractéristiques en une formule exprimant la force exercée par q1 sur q2 : 
avec :
le vecteur unitaire de la droite reliant q1 et q2 qui est dirigée dans le sens 1 vers 2
la permittivité diélectrique du vide
Ce qui peut rendre la compréhension de cette formule compliquée est la notion de force à distance. En effet, comment une charge peut savoir qu'une autre charge ponctuelle se trouve à une certaine distance d'elle et alors exercer sur force sur cette charge en fonction de la distance qui les sépare. Dans ce cas, tout comme pour un champ gravitationnel, il peut être utile de séparer dans la loi de force ce qui dépend de la charge subissant la force et donc d'obtenir la relation suivante : 
avec :
un champ électrique électrostatique créé à partie de la charge q1 au point où se trouve la seconde charge q2
Ainsi, avec cette relation, il est plus aisé d'interpréter l’existence d'une force à distance. En effet, la charge considérée comme "source", c'est-à-dire q1, crée en tout point de l'espace un champ électrique dont la forme est donnée par la relation exprimée ci-dessus, et une charge quelconque considérée comme "test" subira l'effet de ce champ sous la forme d'une force égale au produit de cette charge par le champ électrostatique. Dans ce cas, ce champ électrostatique apparaîtra comme la force entre deux particules ponctuelles fixes par unité de charge.
Hideki Yukawa
Hideki Yukawa est un physicien d'origine japonaise ayant vécu de 1907 à 1981. Il a été célèbre pour avoir été le premier japonais à recevoir un prix Nobel. En effet, il fut récompensé du prix Nobel de physique en 1949 pour ses recherches concernant l'existence des mésons. Il s'est intéressé toute sa vie au nucléaire et à même participé aux recherches sur l'élaboration de l'arme nucléaire au service du gouvernement japonais. Cependant, il sera signataire du manifeste Russell-Einstein qui a pour but le désarmement nucléaire mondial en prenant en compte sa grande dangerosité. Il a reçu de nombreuses distinctions :
- Le Prix impérial de l'Académie japonaise en 1940 ;
- Le Prix académique Noma en 1941 ;
- L'Ordre de la Culture en 1943 ;
- Le Prix Nobel de physique en 1949 ;
- Elu membre d'une société royale étrangère (ForMemRS) en 1963 ;
- La Médaille Lomonossov en 1964 ;
- La Médaille pour le Mérite en 1967 ;
- La Médaille de l'Académie pontificale des sciences en 1967 ;
- Le Grand Cordon de l'Ordre du Soleil levant en 1977 ;
- Le Second rang junior à titre posthume, en 1981.
Rappels
Champ électrique
En physique, on appelle champ électrique tout champ vectoriel créé par des particules électriquement chargées. Plus exactement, lorsque nous sommes en présence d'une particule chargée, les propriétés locale de l'espace défini sont alors modifié ce qui permet de définir la notion de champ. En effet, si une autre charge se trouve être dans le dit champ, elle subira ce qu'on appelle l'action de la force électrique qui est exercée par la particule malgré la distance. On dit alors du champ électrique qu'il est le médiateur de la dite action à distance. Si on se veut plus précis, on peut définir dans un référentiel galiléen défini, une charge q définie de vecteur vitesse v qui subit de la part des autres charges présentes, qu'elles soient fixes ou mobiles, une force qu'on définira de force de Lorentz. Cette force se décompose ainsi : 
avec :
le champ électrique. Celui-ci décrit dans ce cas la partie de la force de Lorentz qui est indépendante de la vitesse de la charge
le champ magnétique. Celui-ci décrit ainsi la partie de la force exercée sur la charge qui dépend du déplacement de cette même charge dans le référentiel choisi.
De plus, il est important de noter que les deux champs, électrique et magnétique, dépendent du référentiel d'étude. Avec cette formule, on peut alors définir le champ électrique comme étant le champ traduisant l'action à distance subie par une charge électrique fixe dans un référentiel défini de la part de toutes les autres charges, qu'elles soient mobiles ou fixes. Mais on peut également définir le champ électrique comme étant toute région de l'espace dans laquelle une charge est soumise à une force dite de Coulomb. On commence à parler de champ électrostatique lorsque, dans un référentiel d'étude, les charges sont fixes. Notons d'ailleurs que le champ électrostatique ne correspond pas au champ électrique comme décrit plus haut dans cet article puisqu'en effet, lorsque les charges sont en mouvement dans un référentiel, il faut ajouter à ce référentiel un champ électrique qui est induit par les déplacement des charges afin d'obtenir un champ électrique complet. Mais, le champ électrique reste dans la réalité un caractère relatif puisqu'il ne peut exister indépendamment du champ magnétique. En effet, si on observe la description correcte d'un champ électromagnétique, celui-ci fait intervenir un tenseur quadridimensionnel de champ électromagnétique dont les composantes temporelles correspondent alors à celle d'un champ électrique. Seul ce tenseur possède un sens physique. Alors, dans le cas d'un changement de référentiel, il est tout à fait possible de transformer un champ magnétique en champ électrique et inversement.
Les différents types de champ
Le champ électrostatique
On parle de champ électrostatique lors que les charges qui constitue le champ sont au repos dans le référentiel d'étude. Ce champ est donc déduit de l'expression de la loi de Coulomb, aussi appelée interaction électrostatique.
Le champ gravitationnel
En physique classique, on appelle champ gravitationnel, ou encore champ de gravitation, un champ qui est réparti dans l'espace et dû à la présence d'une masse qui est alors susceptible d'exercer une influence gravitationnelle sur tout les autres corps pouvant être présent à proximité immédiate ou non. On peut démontrer que le champ gravitationnel créé en un point quelconque par un corps ponctuel dérive d'un potentiel scalaire dit newtonien. En physique classique, le champ gravitationnel ou champ de gravitation est un champ réparti dans l'espace et dû à la présence d'une masse susceptible d'exercer une influence gravitationnelle sur tout autre corps présent à proximité (immédiate ou pas). L'introduction de cette grandeur permet de s'affranchir du problème de la médiation de l'action à distance apparaissant dans l'expression de la force de gravitation universelle. On peut interpréter le champ gravitationnel comme étant la modification de la métrique de l'espace-temps. L'approximation newtonienne est alors valable uniquement dans le cas où les corps présentent une vitesse faible par rapport à celle de la lumière dans le vide et si le potentiel gravitationnel qu'ils créent est tel que le quotient du potentiel gravitationnel sur le carré de la vitesse de la lumière dans le vide est négligeable. On peut approcher le champ électrique et le champ gravitationnel. En effet, l'expression du champ et du potentiel ne sont différents que d'une constante. De plus, les principaux théorèmes de calculs, celui de la superposition ou de Gauss par exemple, peuvent s'appliquer dans les deux cas. Ce qui les différencie alors est le caractère attractif, donc entre deux charges de signe opposé, ou répulsif, donc entre deux charges de même signe, du champ électrique tandis que le champ gravitationnel ne peut être qu'attractif.
Principe de superposition
Il est possible d'appliquer le principe de superposition à un système de type entrée-sortie si :
- La somme de deux entrées quelconque correspond à la somme des deux sorties correspondantes ;
- Un multiple d'une entrée quelconque correspond le même multiple de la sortie correspondante.
Dans ce cas, c'est-à-dire celui d'un système physique, on peut appeler l'entrée excitation et la sortie réponse. On obtient alors, en notant les excitations ƒ et les réponses x (donc les mouvements généré par les forces mécaniques ƒ) :
- Lorsque l'on sollicite le système par une entrée, donc une excitation notée ƒ1, une réponse, donc un déplacement, qui sera noté x1 ;
- Lorsque l'on sollicite le système par une entrée, donc une excitation notée ƒ2, une réponse, donc un déplacement, qui sera noté x2 .
Formule
La potentiel de Yukawa est une formule de la forme suivante : 
Démonstration du potentiel de Yukawa
Pour démontrer l'obtention de la formule de Yukawa, il faut partir de l'équation de Klein-Gordon. 
Équation de Klein-Gordon
Egalement connue sous le nom d'équation de Klein-Gordon-Fock, l'équation de Klein-Gordon est une équation qui décrit les particules de spin nul, quelle que soit leur charge électrique. Inspirée de l'équation de Schrödinger, elle a été établie par les physiciens allemands et suédois Walter Gordon et Oskar Klein.
Cas particuliers
Si le second membre est nul, on se retrouve en présence de l'équation des ondes électromagnétiques : 
Exercice
On considère le potentiel V(r)=(q/4πε0r).e(-r/a) d' une distribution de charges avec r en coordonnées sphériques, q>0 et a=Cte>0. 1. Déterminer le champ électrostatique. 2. Calculer le flux du champ électrostatique à travers une sphère de centre 0. 3. Interpréter les cas limites r→0 et r→infini. 4. En déduire la densité volumique de charge en tout point sauf O. La limite r→0 pose t-elle problème ? 5. Que est le système modélisé par cette étude ?
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