Ellipse : Je te signale quelques erreurs sur ton énoncé, je les ai corrigées, mais la prochaine fois fais attention, cela me prend plus de temps. C : {x = acos t; y = asin t ; c’est t° qui appartient à [0; 2 Pi] et non pas 0 à [0;2]; HP = b/a HM sinon cela ne colle pas. I.1) HM est l’ordonnée de M, HP celle de P : donc y’ = b/a (asin t) = a sin t ; l’abscisse reste inchangée. On a donc bien C’ {acos t ; bsin t} I.2) a) FM² = FH² + HM² car ce sont les projections de FM sur les axes x et y Donc FM² = (c-acos t)² +b²sin²t = c² -2ac cos t + a²cos² t +b²sin²t = c² - 2ac cost +a²cos²t +(a²-c²)sin²t selon l’égalité donnée FM² = c²(1-sin²t) -2ac cost +a²(cos²t+sin²t) = c²cos²t -2ac cos t + a² = (a-c cos t)² Donc comme FM est une distance donc positive, FM = a-c cos t De même, F’M² = (c + acos t)² +b²sin²t = (a+ c cost)² après développement et simplification puis F’M = a+cos t Donc FM + F’M = 2a donc M appartient à E I.3) Le symétrique de F par rapport à Ox est F de même celui de F’ est F’ : donc comme la symétrie axiale conserve les distances, FM’ = FM et F’M’ = F’M (M’ est le symétrique de M par rapport à Ox). Donc FM’ +F’M’ = 2a et M’ appartient à E donc Ox est axe de symétrie pour E. De même, le symétrique de F (respectivement F’) par rapport à Oy est F’ (respectivement F) donc par la même conservation des distances, FM’+ F4M’ = 2a . D’où les symétries axiales par rapport à Ox et Oy II.1) M(x = acos t; y= bsin t) donc x²/a² = cos²t et y²/b² = sin²t donc x²/a² +y²/b² = cos²t + sin²t = 1 II.2)si x²/a²+y²/b² =1; x²/a² <= 1-y²/b² <=1 car y²/b² >= 0 donc -1<=x/a<=1 et de même -1<=y/b<=1 comme cos t° est aussi compris entre -1 et 1, on peut écrire x/a = cost . Si on remplace alors dans x²/a² +y²/b² =1, on obtient (y/b)² = 1- cos²t soit y/² = sint II.3) On a MF = a-cost distance au foyer F (le soleil ici) : MF est maximale pour cos t = -1 soit MF = a+c et M se trouvant en t=Pi : x= -a; y=0 : à l’autre bout de l’ellipse MF est minimale pour cost = 1 donc t=0 et x=a, y=0 |
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