Exercice 1 (3,5 points) ABC est un triangle. 1) construire le barycentre G de (A,2), (B,3) et (C,1). On construit d’abord le barycentre partiel G’ de (B,3), (C,1) puis on construit le barycentre de (A,2), (G’,4) 2) Soit D, le milieu du segment [BC] Montrer que vecteurGD=1/2(vecteurGB+vecteurGC) GB+GC=GD+DB+GD+DC=2GD+DB+DC. Or D milieu de BC, donc DB+DC=0 Donc : vecteurGD=1/2(vecteurGB+vecteurGC) 3) En déduire que G est le centre de gravité du triangle ABD. GA+GB+GD=GA+GB+1/2GB+1/2GC=GA+1,5GB+0,5GC=1/2*(2GA+3GB+GC)=0 car G barycentre de (A,2), (B,3) et (C,1). Exercice 2 ( 7 points ) En cours de maths en ligne, étant donné un rectangle ABCD, on appellera E et F les points définis par : VectAE=3vectAD et vectBF=3/2vect BF ( qu’est-ce ce que cela veut dire ?) Je considère que c’est 3/2BC 1) Déterminer des réels a,b,c,d tels que le point D soit me barycentre de (A,a), (E,b) et que le point C soit le barycentre de (B,c), (F,d). Par exemple : a=1 et b=2 Par exemple : c=2 et d=1 2) Soit G le barycentre de (A,2) (B,2), (E,1) et (F,4). Montrer que G appartient à la droite (DC). Il faut considérer le repère (A, AB, AD), calculer les coordonnées des points A, B, E, F, D, C. On trouve alors facilement les coordonnées de G et on prouve qu’il vérifie l’équation de (DC) 3) a) Montrer vectDE =-2vectCB De façon évidente, vectDE=-2DA. Comme CB=DA, on trouve immédiatement le résultat. b) en déduire que G est le barycentre de E et de B affectés de coefficient que l’on précisera. 2GA+2GB+GE+4GF=0 2GE+2EA+2GB+GE+4GB+4BF=0 Soit 3GE+6GB=0 car 2EA+4BF=0 soit G barycentre de (E,1), (B,2) c) Montrer que les trois droites (AF), (DC) et (BE) sont concourantes. Oui, nous avons démontré à la première questio qu’elles se coupaient en G 4) Soit I le milieu de [AB]. La droite (IG) coupe la droite (EF) en un point J. Déterminer le réel k tel que vectFJ=k vectFE. (Considerer le barycentre J’ de (E,1), (F,4) et prouver que J’=J.) Il suffit la encore d’utiliser le repère (A, AB, AD), comme on a les coordonnées de I, G, E et F on peut trouver les coordonnées de J ( intersection des 2 droites). Les coordonnées de J indiquent ensuite que J est barycentre de (E,1), (F,4) Exercice 3 (5 points) En cours de math, on considère un parallélogramme ABCD et les points E et F définis par vectDF=2/3vectAB et vectAE=3/4 vectAD. La parallèle à (AD) passant par F coupe la parallèle à (AB) passant par E en G. On se propose de montrer que les droites (AF), (CE), et (BG) sont concourantes. Pour cela : on suppose le plan rapporté au repère (A, vectAB, vectAD) 1) Donner les coordonnés des points A, B, C, D, E, F, G. A(0,0) B(1,0) C(1,1), D(0,1) E(0,3/4) F(2/3,1) G(2/3,3/4) 2) Déterminer une équation de la droite (AF) et une équation de la droite (CE). En déduire les coordonnées de leur point d’intersection I. (AF):y=3/2x (CE) : y=x/4+3/4 I(3/5, 9/10) 3) Démontrer que le point I appartient à la droite (BG). (BG): y=-9/4x+9/4 I vérifie bien l’équation de la droite 4) On suppose dans cette question que vectAE=-1/2vectAD, tous les autres points étant définis comme ci-dessus. Que dire alors des droites (AF), (CE) et (BG). Elles sont encore concourantes. Il faut changer les coordonnées de E, I et G et refaire le même raisonnement. Exercice 4 (4,5 points) On se propose dans cet exercice de déterminer l’ensemble des entiers relatifs x et y, de valeur absolue inférieure ou égale à 3 tels que x(x+2)=(y-1)(y+1) (1) 1) Montrer que la relation (1) est vrai si et seulement si : (x+1-y)(x+1+y)=0 Il suffit de développer (x+1-y)*(x+1+y) et montrer que l’on tombe sur le même résultat qu’en développant x(x+2)-(y-1)(y+1) 2) tracer dans le plan muni d’un repère orthonormé (0, vect i, vect j ), les droites (D1) et (D2) d’équation respectives y=x+1 et y=-x-1 3) Trouver, graphiquement, toutes les solutions du problème posé. Pour qu’un couple (x,y) soit solution, il faut que x+1-y=0 ou que x+1+y=0. Les solutions du problèmes sont donc l’ensemble des points des deux droites et inclus dans un carré de coté 6 cm, centré sur l’origine. 4) Trouver, graphiquement, toutes les solutions du système {x au carré-y au carré+2x+1supérieur ou égal à 0 Valeur absolue de x inférieur ou égal à 3 Valeur absolue de y inférieur ou égal à 3 Il faut donc que (x+1-y)*(x+1+y) soit positif. Soit (x+1-y) >0 et (x+1+y)>0 ( intersection de deux zones hachurés du plan situés au dessus des droites avec le carré de côté 6 centré sur 0) Soit (x+1-y) <0 et (x+1+y)<0 ( intersection de deux zones hachurés du plan situés au dessous des droites avec le carré de côté 6 centré sur 0) |
Si vous désirez une aide personnalisée, contactez dès maintenant l’un de nos professeurs !
J aime
Bonsoir pouvez-vous m’aider pour un exo en math si c’est possible merci en avance !
Soit ABDC un parallélogramme. On appelle E le symétrique de A par rapport à B , F le point tel que BDEF soit un parallélogramme et G le centre de gravité de AEC.
1/ Faire une figure
2/ Déterminer les coordonnés de tous les points de la figure
a) dans le repère (A,B,D) ; b) dans le repère ( C,D,B).
Je arrive pas mes exercices de géométrie pouvez vous m’aider merci.
Bonjour
Est ce que vous pouvez m’aider dans cet exercice:
Soit ABC un triangle équilateral , O le centre du triangle . M appartient de [AB] . N appartient de [AC] et P appartient de [ BC ] determiner les positions de M N et P telque le perimetre de la quadrilatere MNOP est la perimetre minimal
Bonjour Mimi, merci pour votre intérêt. Il nous fera plaisir de vous aider ! Avez-vous essayé de contacter l’un de nos professeurs pour recevoir une aide personnalisée ? Excellente journée ! 🙂
Intéressant
Bonjour vous pouvez m’aider