Chapitres
Rappels
Notion de fonction
-> Définition
Soit D une partie de R. Définir une fonction f sur D, c'est associer à chaque nombre réel x de D, un nombre réel et un seul, appelé image de x par f et noté f(x). L'ensemble D est appelé ensemble de définition de la fonction f.
Egalité de deux fonctions
-> Définition
Deux donctions f et g sont égales (on note f = g) si :
* f et g ont le même ensemble D de définition;
* pour tout réel x de D, f(x) = g(x).
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Courbe représentative
-> Définition
Dans un repère du plan, la courbe C représentant la fonction f est l'ensemble des points M de coordonnées (x;y) tels que x appartienne à D et que y = f(x).
-> Propriété
Les solutions de l'équation f(x) = 0 sont les abscisses des points d'intersection de la courbe C représentant f et de l'axe des abscisses. Soit m un nombre réel. Les solutions de l'équation f(x) = m sont les abscisses des points d'intersection de la courbe C représentant f et de la droite d'équation y = m.
Sens de variation d'une fonction
-> Définition
Soit I un intervalle de R et f une fonction définie sur I .
* f est strictement croissante sur I si, pour tous réels a et b de I, a < b implique f(a) < f(b);
* f est strictement décroissante sur I si, pour tous réels a et b de I, a < b implique f(a) > f(b);
* f est strictement monotome sur I si f est soit strictement croissante soit strictement décroissante sur I.
Maximum, minimum d'une fonction
-> Définition
Soit c un nombre réel sur I.
* f(c) est le maximum de f sur I si, pour tout réel x de I, f(x) ≤ f(c);
* f(c) est le minimum de f sur I si, pour tout réel x de I, f(x) ≥ f(c).
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Fonctions usuelles
Fonctions affines
-> Définition
Une fonction affine f est une fonction définie sur R, qui, à tout nombre réel x, associe f(x) = ax + b, a et b étant deux nombres réels fixés.
-> Propriété
La représentation graphique de la fonction affine f est la droite d'équation y = ax + b.
-> Définition
Les coefficients a et b sont respectivement le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine de la droite.
-> Propriété
Soit A et B deux points de la droite. Le coefficient directeur a de la droite est donné par la formule : a = (yB-yA) / (xB-xA)
-> Définition
* si a = 0, la fonction est constante; elle est représentée par une droit parallèle à l'axe des abscisses.
* Si b = 0, la fonction est linéaire; elle est représentée par une droite passant par l'origine du repère.
Fonctions carré et cube
-> Définition
* La fonction carré est la fonction définie sur R, qui, à tout réel x, associe x2.
* La fonction cube est la fonction définie sur R, qui, à tout réel x, associe x3.
-> Propriété
La fonction carré est décroissante sur ] -∞; 0 ]et croissante sur [ 0; +∞ [.
La fonction cube est croissante sur R.
-> Propriété
Si 0 < x < 1, alors 0 < x3 < x2 < x < 1; si x > 1, alors 1 < x < x2 < x3.
Fonction inverse
-> Définition
La fonction inverse est la fonction définie sur R* qui, à tout réel x non nul, associe (1/x).
Sa courbe représentative s'appelle une hyperbole.
-> Propriété
La fonction inverse est décroissante sur chacun des intervalles ] -∞; 0 [ et ] 0; +∞ [.
Fonction racine carrée
-> Définition
La racine carrée est la fonction définie sur [ 0 ; +∞ [ qui, à tout réel positif x, associe rac(x).
-> Propriété
La fonction racine carrée est croissante sur [ 0 ; +∞ [.
Fonctions cosinus et sinus
Le plan est muni d'un repère orthonormal (O;I,J). Soit C le cercle trigonométrique de cente O et de rayon 1. A tout nombre réel t, on fait correspondre un point unique M du cercle C. Ce nombre x est la mesure en radians de l'angle que forme le vecteur vec(OM) avec le vecteur vec(OI).
-> Définition
On appelle respectivement cosinus de t et sinus de t, notés cos(t) et sin(t), l'abscisse et l'ordonnée du point M dans le repère (O;I,J).
-> Propriétés
* Les fonctions cos et sin sont définies sur R.
*Pour tout réel t, cos(t+2π) = cos(t) et sin(t+2π ) = sin(t).
*On dit que les fonctions cos et sin sont périodiques de période 2π.
* Pour tout réel t, cos(-t) = cos(t) et sin(-t) = -sin(t).
*La fonction cos est décroissante sur [ 0 ; π ].
* La fonction sin est croissante sur [ -π/2 ; +π/2 ].
Tableau donnant les valeurs remarquables de cos(t) et sin(t) :
| t | 0 | π/6 | π/4 | π/3 | π/2 |
| cos(t) | 1 | rac(3)/2 | rac(2)/2 | 1/2 | 0 |
| sin(t) | 0 | 1/2 | rac(2)/2 | rac(3)/2 | 1 |
Opérations sur les fonctions (somme, produit, quotient)
-> Définition
Soit u et v deux fonctions définies sur un même ensemble D. Les fonctions u + v et uv sont définies sur D par :
( u + v )( x ) = u (x) + v(x) et ( uv )(x) = u (x) v (x).
Si, de plus, pour tout x de D, v(x) ≠ 0, la fonction u/v est définie sur D par:
( u/v )( x ) = ( u( x ) ) / ( v( x ) )
-> Propriété
* Si les fonctions u et v sont croissantes sur un même intervalle I, alors la fonction u + v est croissante sur I.
* Si les fonctions u et v sont décroissantes sur un même intervalle I, alors la fonction u + v est décroissante sur I.
Fonctions u + λ, λu et x -> u( x + λ ), λ nombre réel fixé
Soit u une fonction définie et monotome sur un ensemble D et λ un nombre réel fixé. Dans le plan muni d'un repère (O; vec(i) , vec(j) ), on désigne par Cu la courbe représentative de la fonction u.
Fonction u + λ
-> Définition
La fonction u + λ est la fonction définie sur D par: ( u + λ )( x ) = u( x ) + λ.
-> Propriété
Si la fonction u est définie et monotome sur un intervalle I, alors u et u + λ ont le même sens de variation sur I.
La courbe Cu + λ est l'imag de la courbe Cu par la translation de vectur λ vec( j ).
Fonction λu
-> Définition
La fonction λu est les fonction définie sur D par : ( λu )( x ) = λu( x ).
-> Propriété
* Soit u une fonction définie et monotone sur un intervalle I :
¤ si λ > 0, alors u et λu ont le même sens de variation sur I;
¤ si λ < 0, alors u et λu ont des sens de variation contraires sur I.
* Si M est le point d'abscisse c de Cc, on obtient le point M' d'abscisse x de Cλu en multipliant l'ordonnée de M par λ.
Fonction x -> u( x + λ )
-> Propriété
Soit v la fonction définie par v( x ) = u( x + λ ). La courbe Cv est l'image de la courbe Cu par la translation de vecteur ( -λ) vec( i ).
Composition de deux fonctions
/ ! Définition
Soit f et g deux fonctions définies respectivement sur des intervalles I et J tels que pour tout x de I, f( x ) ∈ J.
La fonction composée " f suivie de g ", notée gοf, est la fonction définie sur I par : gof( x ) = g( f( x ) )
-> Propriété
Si f est croissante sur I et g est croissante sur J, alors gof est croissante sur I.
Si f est croissante sur I et g est décroissante sur J, alors gof est décroissante sur I.
Si f est décroissante sur I et g est croissante sur J, alors gof est décroissante sur I.
Si f est décroissante sur I et g est décroissante sur J, alors gof est croissante sur I.
Majorant, minorant
-> Définition
Soit f une fonction définie sur un intervalle I, m et M deux nombres réels. Le nombre M est un majorant de f sur I si, pour tout x de I, f( x ) ≤ M. Le nombre m est un minorant de f sur I si, pour tout x de I, f( x ) ≥ m. Si f admet un majorant et un minorant sur I, on dit que f est bornée sur I.
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Merci enormement madidine pour votre leçon.
meumeu67
Bien sûr cela me ferait plaisir de publier d’autre cours de première si seulement j’en avais le temps.
Figure toi que je préférerais faire ça ces temps ci que de réviser mon bac ^^ bien que j’en ai besoin.
Donc je verais ce que je peux faire dans la semaine si jamais j’en ai loccasion.Sinon les épreuves du bac se terminent le 24 Juin apres cette date j’espère être libre de pouvoir faire ce que je veux. Je publierai d’autre cours de maths après le bac et aussi je mettrai a jour le programme de maths de terminale qui te sera surement utile un jour ou l’autre ^^.
Madidine
Merci beaucoup pour ce cours sur les fonctions cela m’a permis de mieux comprendre ce que l’on avait fait en cours ^^ (parce que ma prof ne n’explique rien du tout ce qui est fort embetant…) Et j’aimerais te demander si tu pouvais faire pareil pour tout les autres chapitres de Maths de 1ereS…?? Cela m’aiderais beaucoup…^^ Mais j’avoue que ce que je te demande la n’est pas une mince affaire et que je comprendrais tres bien que tu ne le fasses pas…!!
Merci beaucoup encore.
Meumeu67.
voila j’ai lut ton cour et je comprend tjr pas j’ai vrement du mal avec ce cours et je voudrais quelqu’un m’aide donc ci quelqun peu m’aider quil le dise
merci avance
[b][color=blue]merci pour ce cours
qui sera bien utile s’il me manque quelque chose dans mon cours[/color]
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