Chapitres
Définition
Une fonction f définie sur R est appelée trinôme du second degré lorsque f(x) = ax² + bx +c, où a, b et c sont trois réels avec a non nul. On dit aussi que ax²+bx+c est un trinôme du second degré.
Forme canonique du trinôme
La forme canonique du trinôme ax²+bx+c (a≠0) s'obtient en mettant a en facteur :
puis en considérant que est une partie du développement de ; on obtient :
Ce résultat n'a pas à être mémorisé, mais on doit connaître la méthode pour le trouver.
Équation du second degré.
Définition
Une équation du second degré est une équation qui peut s'écrire sous la forme ax²+bx+c = 0 avec a≠0, l'inconnu étant le réel x. Ses solutions sont aussi appelées les racines du trinômes ax²+bx+c.
Résolution
On doit résoudre, sans utiliser les formules générales, les 'équations incomplètes', c'est à dire du type:
ax²+bx=0 ou ax²+c=0.
Dans les autres cas, on a recours aux résultats suivants:
Le nombre Δ=b²-4ac s'appelle le discriminant de l'équation.
Si Δ<0, l'équation n'a pas de solution
si Δ=0, l'équation a une solution double α=β= (-b)/2a
Si Δ>0, l'équation a deux solutions distinctes α= (-b-√Δ)/2a et β=(-b+√Δ)/2a
Forme factorisée
Méthode
Pour factoriser le trinôme : ax²+bx+c = 0, il faut :
_ le faire directement chaque fois que cela est possible (égalité remarquable, trinôme incomplet, etc.)
_ sinon, avoir recours au théorème suivant
Si le trinôme a deux racines distinctes α et β, alors, pour tout réel x : ax²+bx+c =
a(x-α)(x-β).
Si le trinôme a une racine double α, alors, pour tout réel x, ax²+bx+c = a(x-α)².
Si le trinôme n'a pas de racine alors il n'est pas factorisable.
Signe du trinôme
Théorème
Pour déterminer le signe du trinôme : ax²+bx+c, il le faut faire directement chaque fois que cela est possible. Si ce n'est pas possible, on utilise la 'règle du signe du trinôme'.
Le trinôme ax²+bx+c est :
si Δ<0 : du signe de a pour tout réel x
si Δ=0 : nul pour x= -b/2a, du signe de a pour tout réel x ≠ -b/2a
si Δ>0 : nul pour ses deux racines .
Ce théorème s'énonce aussi :
Le trinôme ax²+bx+c est du signe de a pour tout réel x, sauf s'il a deux racines et si x est compris entre ces racines.
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