Chapitres
Le plan est muni d'un repère orthonormal (O, i, j).
I )Sens de variation
Soit un intervalle de R, f une fonction définie sur I, a et b deux réels appartenant à I.
- On dit que f est croissante sur I si pour tout couple (a ; b )de I : l'inégalité a ≤ b est équivalente à l'inégalité f(a) ≤ f(b).
- On dit que f est décroissante sur I si pour tout couple (a ; b )de I : l'inégalité a ≤ b est équivalente à l'inégalité f(a) ≥ f(b).
II ) Maximum et Minimum
Soit I un intervalle de R et f une fonction définie sur I.
- Soit xmax un élément de I. On dit que f présente en xmax un maximum égal à f(xmax) sur I,si et seulement si, pour tout réel x contenu dans I, f(x) ≤ f(xmax).
- Soit xmin un élément de I. On dit que f présente en xmin un minimum égal à f(xmin) sur I, si et seulement si, pour tout réel x contenu dans I, f(x) ≥ f(xmin).
III )Fonction Majorée Minorée Bornée
Soit I un intervalle de R et f une fonction définie sur I.
- Soit M une élément de R. On dit que f est majorée sur O par M, si et seulement si, pour tout réel x est contenu dans I, f(x) ≤ M.
- Soit m une élément de R. On dit que f est minorée sur O par m, si et seulement si, pour tout réel x est contenu dans I, f(x) ≥ m.
- f est bornée sur I, si et seulement si, f est majorée et minorée sur I.
Exemple :
IV)Parité
Soit un intervalle de R et f une fonctin définie sur I (cours de math 3eme).
- f est paire si et seulement si pour tout réel x appartient à I, on a :
-x appartient à I et f(-x) = f(x)
- f est impaire si et seulement si pour tout réel x appartient à I, on a :
-x appartient à I et f(-x) = -f(x)
Si la fonction f est impaire, sa courbe rprésentative dans le repère (o,i,j) admet O l'origine du repère comme centre de symétrie.
V) Périodicité
Soit f une fonction définie sur Df et T un réel strictement positif. f est périodique, de période T si et seulement si on a :
Pour tout élément x de Df x+T appartient à Df et f(x+T) = f(T).
La courbe rprésentative d'un fonction périodique de période T dans un répère orthogonal (o,i,j) est invariante par toute translation de vecteur kT i ou k est un entier relatif.
VI )Fonctions usuelles
1.Fonction affine:
Une fonction affine est définie sur R et elle est de la forme f(x) = ax + b, où a et b sont des nombres réels. Sa courbe représentative est une droite d'équation :
y = ax + b
Si a > 0, la fonction Si a < 0, la fonction Si a = 0 la fonction
est strictement est strictement est constante
croissante. décroissante.
2.Fonction carré :
La fonction carré est une fonction paire défini sur R par : f(x) = x².
Sa courbe représentative est une parabole d'équation : y = x², de sommet l'origine O du repère.
La fonction carré est décroissante sur R- et croissante sur R+.
3.Fonction racine carrée :
La fonction racine carrée est une fonction définie sur R+ par : f(x) = racine carrée de x.
La fonction racine carrée est croissante sur R+.
4.Fonction inverse :
La fonction inverse est une fonction impaire définie sur R* par : f(x) = 1/x.
Sa courbe représentative est une hyperbole dont le centre de symétrie est l'origine O du repère.
La fonction inverse est décroissante sur R- et croissante sur R+
5.Fonction cube :
La fonction cube est une fonction impaire définie sur R par : f(x) = x3
Cette fonction est croissante sur R (cour de math).
6. Fonctions sinus et cosinus :
Les fonctions sinus et cosinus sont définies sur R et sont périodiques de période 2 π.
- Fonction sinus
La fonction sinus est impaire et croissante sur [- π/2 ; π/2].
Pour construire la courbe représentative de la fonction sinus sur R, on peut commencer par tracer sin x sur [0 ; π/2]. On trace alors son symétrique par rapport au point O, puis on procède à des translations successives de vecteur 2 π i.
- Fonction cosinus
La fonction cosinus est paire et décroissante sur [0 ; π].
VII) Opérations sur les fonctions
1. Un produit d'une fonction par un réel k :
Soit f une fonction définie sur Df. La fonction kf est aussi définie sur Df et, pour tout x ∈ Df :
Théorème
Si k > 0, kf et f ont même sens de variation.
Si k< 0, kf et f ont des sens de variations contraires.
- Soit Cf la courbe représentation de f et Ckf celle de kf. On peut obtenir Ckf point par point à partir de Cf en multipliant, pour chaque abcisse, l'ordonnée f(x) par k.
Exemple : Soit la fonction f = x3 et les fonctions g = -3f et h = 2f
2. Fonction somme f + g :
Soit f et g deux fonctions définies sur in même ensemble de défintion D. La fonction f + g est définie sur D par :
Théroème
Si f et g sont deux fonctions croissantes dsur D, alors f + g est croissante sur l'ensemble D.
Si f et g sont deux fonctions décroissantes sur D, alors f + g est décroissante sur l'ensemble D.
3. Fonction produit fg et fonction quotient f/g :
Soit f et g deux fonctions définies sur un même ensemble D. La fonction fg est définie sur D par :
(fg) (x) = f(x) * g(x).
Si g ne s'annule pas sur D, ma fonction (f/G) est définies sur D par :
(f/g) (x) = f(x)/g(x)
VIII) Fonction composée
Soit f et g deux fonctions définies rspectivement sur Df et Dg telles que pour tout élément x ∈ Dg, g(x) ∈ Df.
- Définition
L'expression de la fonction composée f ° g est :
g : x → g(x) → f(g(x))
soit encore f ° g : x →→→→→ f ° g(x)
- Théorème
Si f et g ont même sens de variation alors f ° g est croissante.
Si f et g ont des sens de variation contraires alors f ° g est décroissante.
IX) Courbes et Transformations
Fonction du type g(x) = f(x + k)
Soit f une fonction définie sur un ensemble D et Cf sa représentation graphique. Soit k un réel, tel que pour tout x ∈ D, x + k ∈ D. La fonction g définie sur D par : g(x) = f(x + k) admet une représentation graphique obtenue par translation de vecteur - k i de la courbe Cf.
Exemple : Soit f(x) = x² et g(x = (x + 1)². On remarque que g(x) = f(x + 1), donc on obtient la courbe Cg par translation de vecteur -i de Cf.
- Fonction du type g(x) = g(x) + k :
Soit une fonction définie sur un ensemble D et Cf sa représentation graphique. Soit k un réel. La fonction g définie sur D par : g(x) = f(x) + k admet une représentation graphique obtenue par translation de vecteur k j de la courbe Cf.
Exemple : Soit f(x) = x² et g(x) = x² + 2. On remarque que g(x) = f(x) + 2, donc on obtient la courbe Cg par translation de vecteur 2j de Cf.
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