Le plan est muni d'un repère orthonormal (O, i, j).

Les meilleurs professeurs de Maths disponibles
Chris
5
5 (483 avis)
Chris
96€
/h
Gift icon
1er cours offert !
Anis
4,9
4,9 (94 avis)
Anis
49€
/h
Gift icon
1er cours offert !
Houssem
5
5 (174 avis)
Houssem
50€
/h
Gift icon
1er cours offert !
Laurent
4,5
4,5 (109 avis)
Laurent
60€
/h
Gift icon
1er cours offert !
Sébastien
5
5 (36 avis)
Sébastien
50€
/h
Gift icon
1er cours offert !
Gaël
5
5 (64 avis)
Gaël
80€
/h
Gift icon
1er cours offert !
Greg
5
5 (334 avis)
Greg
140€
/h
Gift icon
1er cours offert !
Laurent
5
5 (103 avis)
Laurent
80€
/h
Gift icon
1er cours offert !
Chris
5
5 (483 avis)
Chris
96€
/h
Gift icon
1er cours offert !
Anis
4,9
4,9 (94 avis)
Anis
49€
/h
Gift icon
1er cours offert !
Houssem
5
5 (174 avis)
Houssem
50€
/h
Gift icon
1er cours offert !
Laurent
4,5
4,5 (109 avis)
Laurent
60€
/h
Gift icon
1er cours offert !
Sébastien
5
5 (36 avis)
Sébastien
50€
/h
Gift icon
1er cours offert !
Gaël
5
5 (64 avis)
Gaël
80€
/h
Gift icon
1er cours offert !
Greg
5
5 (334 avis)
Greg
140€
/h
Gift icon
1er cours offert !
Laurent
5
5 (103 avis)
Laurent
80€
/h
Gift icon
1er cours offert !
C'est parti

I )Sens de variation

Soit un intervalle de R, f une fonction définie sur I, a et b deux réels appartenant à I.

  • On dit que f est croissante sur I si pour tout couple (a ; b )de I : l'inégalité a ≤ b est équivalente à l'inégalité f(a) ≤ f(b).
  • On dit que f est décroissante sur I si pour tout couple (a ; b )de I : l'inégalité a ≤ b est équivalente à l'inégalité f(a) ≥ f(b).

II ) Maximum et Minimum

Soit I un intervalle de R et f une fonction définie sur I.

  • Soit xmax un élément de I. On dit que f présente en xmax un maximum égal à f(xmax) sur I,si et seulement si, pour tout réel x contenu dans I, f(x) ≤ f(xmax).
  • Soit xmin un élément de I. On dit que f présente en xmin un minimum égal à f(xmin) sur I, si et seulement si, pour tout réel x contenu dans I, f(x) ≥ f(xmin).

III )Fonction Majorée Minorée Bornée

Soit I un intervalle de R et f une fonction définie sur I.

  • Soit M une élément de R. On dit que f est majorée sur O par M, si et seulement si, pour tout réel x est contenu dans I, f(x) ≤ M.
  •  Soit m une élément de R. On dit que f est minorée sur O par m, si et seulement si, pour tout réel x est contenu dans I, f(x) ≥ m.
  •  f est bornée sur I, si et seulement si, f est majorée et minorée sur I.

Exemple :

IV)Parité

Soit un intervalle de R et f une fonctin définie sur I (cours de math 3eme).

  • f  est paire si et seulement si pour tout réel x appartient à I, on a :

-x appartient à I et f(-x) = f(x)

Si la fonction f est paire, sa courbe représentative dans le repère (o,i,j) admet (Oy) comme axe de symétrie.
  • f est impaire si et seulement si pour tout réel x appartient à I, on a :

-x appartient à I et f(-x) = -f(x)

Si la fonction f est impaire, sa courbe rprésentative dans le repère (o,i,j) admet O l'origine du repère comme centre de symétrie.

V) Périodicité

Soit f une fonction définie sur Df et T un réel strictement positif. f est périodique, de période T si et seulement si on a :

Pour tout élément x de Df    x+T appartient à Df et f(x+T) = f(T).

La courbe rprésentative d'un fonction périodique de période T dans un répère orthogonal (o,i,j) est invariante par toute translation de vecteur kT i ou k est un entier relatif.

VI )Fonctions usuelles

1.Fonction affine:

Une fonction affine est définie sur R et elle est de la forme f(x) = ax + b, où a et b sont des nombres réels. Sa courbe représentative est une droite d'équation :

y = ax + b

Si a > 0, la fonction                            Si a < 0, la fonction                     Si a = 0 la fonction
est strictement                                    est strictement                             est constante
croissante.                                         décroissante.

2.Fonction carré :

La fonction carré est une fonction paire défini sur R par : f(x) = x².
Sa courbe représentative est une parabole d'équation : y = x², de sommet l'origine O du repère.
La fonction carré est décroissante sur R- et croissante sur R+.

3.Fonction racine carrée :

La fonction racine carrée est une fonction définie sur R+ par : f(x) = racine carrée de x.
La fonction racine carrée est croissante sur R+.

4.Fonction inverse :

La fonction inverse est une fonction impaire définie sur R* par : f(x) = 1/x.
Sa courbe représentative est une hyperbole dont le centre de symétrie est l'origine O du repère.
La fonction inverse est décroissante sur  R- et croissante sur R+

5.Fonction cube :

La fonction cube est une fonction impaire définie sur R par : f(x) = x3
Cette fonction est croissante sur R (cour de math).

6. Fonctions sinus et cosinus :

Les fonctions sinus et cosinus sont définies sur R et sont périodiques de période 2 π.

  • Fonction sinus

La fonction sinus est impaire et croissante sur [- π/2 ;  π/2].
Pour construire la courbe représentative de la fonction sinus sur R, on peut commencer par tracer sin x sur [0 ; π/2]. On trace alors son symétrique par rapport au point O, puis on procède à des translations successives de vecteur 2 π i.

  • Fonction cosinus

La fonction cosinus est paire et décroissante sur [0 ;  π].

Pour construire la courbe représentative de la fonction cosinus sur R, on peut commencer par tracer cos x sur [0 ; π]. On trace alors son symétrique par rapport à l'axe (Oy), puis on procède à des translations successives de vecteur 2 π  i.

VII) Opérations sur les fonctions

1. Un produit d'une fonction par un réel k :

Soit f une fonction définie sur Df. La fonction kf est aussi définie sur Df et, pour tout x ∈ Df :

 (kf) (x) = kf(x).

Théorème
Si k > 0, kf  et f ont même sens de variation.
Si k< 0, kf et f ont des sens de variations contraires.

  • Soit Cf  la courbe représentation de f et Ckf  celle de kf. On peut obtenir Ckf  point par point à partir de Cf  en multipliant, pour chaque abcisse, l'ordonnée f(x) par k.

Exemple : Soit la fonction f = x3 et les fonctions g = -3f et h = 2f

2. Fonction somme f + g :
Soit f et g deux fonctions définies sur in même ensemble de défintion D. La fonction f + g est définie sur D par :

(f + g) g(x) = f(x) + g(x).

Théroème
Si f et g sont deux fonctions croissantes dsur D, alors f + g est croissante sur l'ensemble D.
Si f et g sont deux fonctions décroissantes sur D, alors f + g est décroissante sur l'ensemble D.

3. Fonction produit fg et fonction quotient f/g :
Soit f et g deux fonctions définies sur un même ensemble D. La fonction fg est définie sur D par :

(fg) (x) = f(x) * g(x).

Si g ne s'annule pas sur D, ma fonction (f/G) est définies sur D par :

(f/g) (x) = f(x)/g(x)

VIII) Fonction composée

Soit f et g deux fonctions définies rspectivement sur Df et Dg telles que pour tout élément x ∈ Dg, g(x) ∈ Df.

  • Définition

L'expression de la fonction composée f  ° g est :
g : x → g(x) → f(g(x))
soit encore                                          f ° g : x →→→→→ f ° g(x)

  • Théorème

Si f et g ont même sens de variation alors f ° g  est croissante.
Si f et g ont des sens de variation contraires alors f ° g est décroissante.

IX) Courbes et Transformations

Fonction du type g(x) = f(x + k)

Soit f une fonction définie sur un ensemble D et Cf sa représentation graphique. Soit k un réel, tel que pour tout x ∈ D,   x + k ∈ D. La fonction g définie sur D par : g(x) = f(x + k) admet une représentation graphique obtenue par translation de vecteur - k i de la courbe Cf.
Exemple : Soit f(x) = x² et g(x = (x + 1)². On remarque que g(x) = f(x + 1), donc on obtient la courbe Cg par translation de vecteur -i de Cf.

  • Fonction du type g(x) = g(x) + k :

Soit une fonction définie sur un ensemble D et Cf sa représentation graphique. Soit k un réel. La fonction g définie sur D par : g(x) = f(x) + k admet une représentation graphique obtenue par translation de vecteur k j de la courbe Cf.
Exemple : Soit f(x) = x² et g(x) = x² + 2. On remarque que g(x) = f(x) + 2, donc on obtient la courbe Cg par translation de vecteur 2j de Cf.

Vous avez aimé cet article ? Notez-le !

Aucune information ? Sérieusement ?Ok, nous tacherons de faire mieux pour le prochainLa moyenne, ouf ! Pas mieux ?Merci. Posez vos questions dans les commentaires.Un plaisir de vous aider ! :) 4,50 (4 note(s))
Loading...

Olivier

Professeur en lycée et classe prépa, je vous livre ici quelques conseils utiles à travers mes cours !