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C'est parti

Introduction

Quand on lance un dé on ne sait pas sur quelle face il va tomber. On dit qu'on a "une chance sur 6 d'obtenir un 2", "une chance sur 6 d'obtenir un 1" ou encore "3 chances sur 6 d'obtenir un nombre impair".

Vocabulaire

Dans le language des probabilités, un lancer de dé est une expérience aléatoire. C'est quelque chose dont on ne peut pas prévoir le résultat. Le temps qu'il fera demain est également une expérience aléatoire car personne, ni même la météo, ne peut vraiment dire quel temps il fera demain. Les différentes issues d'une expérience aléatoire sont appellées événements élémentaires. Un évènement est une somme (on dira plutôt une réunion) d'évènements élémentaires. L'univers est l'ensemble des évènements élémentaires associés à une expérience aléatoire. On le note . La théorie des probababilités est beaucoup associée au language des ensembles, ainsi lorsqu'on lance un dé, les issues {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6} sont chacunes des évènements élémentaires, est un évènement et l'univers est égal est l'ensemble .

Formule

En cours de maths en ligne, si toutes les issues ont la même chance de se produire, on dit que les évènements élémentaires sont équiprobables. C'est le cas lors d'un lancer de dé. Dans ce cas là si A est un évènement, alors la probabilité de l'évènement A est un nombre compris entre 0 et 1 qui vaut :

Par exemple si A est l'évènement "obtenir un nombre supérieur ou égal à 3", alors

Les évènements élémentaires ne sont pas toujours équiprobables. Si aujourd'hui il fait beau, la probabilité qu'il fasse beau demain n'est pas égale à la probabilité qu'il neige demain.

Le jeu de cartes

Amandine, Anthony, Aurélie et Laura jouent au tarot. Dans un jeu de tarot il y a 78 cartes dont 22 atouts et 14 cartes de chaque couleur. Amandine tire une carte dans le jeu. Quelle est la probabilité qu'elle tire un 5 qui ne soit pas le 5 d'atout? Avec la formule précédente cette probabilité vaut

Anthony tire une carte. Quelle est la probabilité qu'il tire une carte plus petite que 5? Il y en a 4 dans chaque couleur, donc

De même la probabilité pour que Aurélie tire un atout est de
Mais voila que Laura tire une carte. Quelle est la probabilité qu'elle tire un 2 ou un coeur? Le nombre de cas favorables n'est pas égal à tous les coeurs plus tous les les 2 car sinon on compte deux fois le 2 de coeur ! La solution est

Vu que l'on compte deux fois le 2 de coeur, on le retire une fois. Pour faire apparaitre 3 probabilités différentes, on peut aussi écrire :

D'une manière générale, si A et B sont deux évènements, on note (se lit "A inter B") l'ensemble des évènements élémentaires qui sont à la fois dans A et dans B, et on note ("A union B") l'ensemble des évènements élémentaires qui sont soit dans A soit dans B. L'expérience de Laura se traduit par :

Si les deux évènements A et B ne contiennent pas d'évènement élémentaire commun, on dit qu'ils sont indépendants (par exemple dans le cas du lancer de dé si A = {1 ; 2} et B = {5 ; 6} ). On a alors , donc (la probabilité d'un évènement impossible est nulle). La formule ci dessus devient :

Pour bien comprendre ce chapitre, on peut aussi se réprésenter les évènements par des cercles.

Si les deux cercles se touchent alors l'aire de la surface totale est égale à l'aire du premier cercle plus l'aire du deuxième moins l'aire de leur intersection. Si les deux cercles ne se touchent pas alors il faut juste additionner les deux aires.

Espérance

Une variable aléatoire est un nombre inconnu dont la valeur dépend du résultat d'une expérience aléatoire. Par exemple, si on joue au jeu suivant : "on mise un euro, on lance un dé, si on obtient moins de 5 on perd la mise, si on fait 5 on gagne deux euros, si on fait 6 on gagne 3 euros", on peut dire que le gain à l'issue du lancer de dé est une variable aléatoire que l'on va appeller X. X peut prendre les valeurs -1, 2, ou 3. L'espérance de X, noté E(X) c'est ce que l'on peut espérer gagner en jouant une fois à ce jeu. On calcule E(X) en multipliant tous les gains possibles avec leur probabilités.

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Olivier

Professeur en lycée et classe prépa, je vous livre ici quelques conseils utiles à travers mes cours !