1) Montrer que pour tous réels a et b : cos(a+b)x cos(a-b) = cos carré de a - sin carré de b = cos carré de b - sin carré de a et que sin(a+b) x sin(a-b) = sin carré de a - sinus carré de b = cos carré de b - cos carré de a Pour tout réels a et b, on a : cos(a+b)cos(a-b)-sin(a+b)sin(a-b)=cos(a+b+a-b)=cos(2a) et cos(a+b)cos(a-b)+sin(a+b)sin(a-b)=cos(a+b-a+b)=cos(2b). Soit, en additionnant les lignes : 2. cos(a+b).cos(a-b)=cos(2a)+cos(2b) et en les soustrayant : 2sin(a+b)sin(a-b)=cos(2b)-cos(2a) Or cos(2a)=2cos²a-1=1-2sin²a cos(2b)=2cos²b-1=1-2sin²b Donc 2. cos(a+b).cos(a-b)=cos(2a)+cos(2b)=2cos²a-1+1-2sin²b Soit cos(a+b).cos(a-b)=cos²a-sin²b et 2sin(a+b)sin(a-b)=1-2sin²b-(1-2sin²a) Soit sin(a+b)sin(a-b)=sin²a-sin²b 2)Après avoir précisé leur ensemble de définition, simplifier les expressions : (sin 3x)/(sin x)+(cos 3x)/(cos x) et (sin 3x)/(sin x) - (cos 3x)/(cos x) sin est définie sur R et s’annule pour x=0+k.pi, k dans Z cos est définie sur R et s’annule pour x=pi/2+k.pi, k dans Z. Donc (sin 3x)/(sin x)+(cos 3x)/(cos x) et (sin 3x)/(sin x) - (cos 3x)/(cos x) sont définies sur les intervalles ]k.pi, k.pi+pi/2[, k dans Z. Simplification : (sin3x)/sinx+cos3x/cosx=(sin3x.cosx+cos3x.sinx)/sinx.cosx=sin(4x)/sinx.cosx=[2.sin(2x).cos(2x)]/sinx.cosx = [4.sinx.cosx.cos(2x)]/sinx.cosx= 4.cos(2x) sin(3x)/sinx-cos(3x)/cosx=(sin3x.cosx-cos3x.sinx)/sinx.cosx=sin(2x)/sinx.cosx=(2.sinx.cosx)/sinx.cosx=2 3)Montrer que pour tout x réel, cos quatre de x = 1/8 (cos 4x+ 4cos 2x +3). cos(2x)=2cos²x-1 Donc cos²x=(cos(2x)-1)/2 Donc cos^4(x)=cos²x.cos²x = 1/4(cos(2x)-1)² = 1/4(cos²(2x)-2.cos(2x)+1) = 1/4[1/2(cos(4x)-1)-cos(2x)+1] Je vous laisse finir... 4)Exprimer cos a x cos b en fonction de cos(a+b) et cos (a-b)et en déduire que cos p + cos q = 2 cos (p+q)/2 cos (p-q)/2 cos(a+b)=cosacosb-sinasinb cos(a-b)=cosacosb+sinasinb Donc 2.cosacosb=cos(a+b)+cos(a-b) Soit cosacosb=1/2[cos(a+b)+cos(a-b)] On pose p=a+b et q=a-b On a alors : cos[(p+q)/2].cos[(p-q)/2]=1/2[cosp+cosq] Soit cosp+cosq=2.cos[(p+q)/2].cos[(p-q)/2] 5)Soit A(x) = 16 cosx cos2x cos4x cos8x En calculant sinx A(x), montrer que pour tout x différent de k x pi, A(x) = (sin 16x)/(sinx) puis en déduire la valeur du nombre cos(pi/15)cos(2pi/15)cos(4pi/15)cos(8pi/15) sinx.A(x)=sinx.(16 cosx cos2x cos4x cos8x)=sinx.cosx.16.(cos2x cos4x cos8x) = 1/2.sin2x.16.(cos2x cos4x cos8x) = 8.1/2.sin4x.cos4x.cos8x = 4.1/2.sin8x.cos8x = 2.1/2. Sin16x =sin16x On a donc bien, pour x différent de k.pi, A(x)=(sin16x)/sinx Il suffit de remplacer x par pi/15, puis d’exprimer sin(16pi/15) en fonction de sin(pi/15)... |
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