1°/ Quelles sont les longueurs des côtés du triangle CNM ? En déduire la nature de CNM. MC=5 ( longueur connue) De plus, AMN est équilatéral puisque AM=AN ( il est isocèle) et que l’angle MAN est égal à pi/3. Donc, MN=3 Enfin, par la rotation R : B donne C et M donne N. Donc, L’image du segment (BM) est le segment (NC). Donc NC=BM=4 Ainsi, comme MC²=MN²+NC², d’après la réciproque du théorême de Pythagore, le triangle MNC est rectangle en N. 2°/ A l’aide de relations métriques, dans le triangle ACN, calculer la longueurs des côtés de ABC. Faites un dessin de A,B,C et M. Utilisons la formule d’Al-Kashi : pour un triangle ABC quelconque, nous avons : AC²=AB²+BC²-2.AB.BC.cos^B Ici, cela donne : AC²=NC²+AN²-2NC.AN.cos^N Or ^ANC=^MNA+^MNC=pi/3+pi/2=5pi/6 D’où AC²=4²+3²-2.4.3.cos(5pi/6) =16+9-24.(-V3/2) =25+12.V3 Au final, on a : AC=V(25+12.V3) |
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