Peut-on réaliser des calculs avec des objets différents ?

Par Olivier

Rédigé le 24 June 2008

2 minutes de lecture

Chapitres

01. Définition
02. Règles de calcul
03. Milieu d'un segment

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Définition

Soit un vecteur et k un réel.
On appelle produit du vecteur par le réel k le vecteur k définie par :

Si ou si k = 0, k.
Si et si k ≠ 0, alors :
- k et ont la même direction.
- Si k > 0
  k et ont le même sens.
  
  Si k < 0
  k et sont de sens contraires.
- càd

Règles de calcul

Pour tous les vecteurs et ,
pour tous les réels a et b, on a :

(α) (a + b) = a + b

(β) a ( + ) = a + b

(γ) a (b) = (ab)

(δ) a = , si et seulement si a = 0 ou

Exemples :

2 + 9 = (2 + 9) = 11
7 + 7 = 7 ( + )
= 7
= –3
–7 = équivaut à : =
càd A et M sont confondus

Remarques :

On peut écrire mais on n'écrit pas .
La division de vecteurs n'est pas possible. On écrit : .
Mais on n'écrit pas : .

Milieu d'un segment

Définition :

I est le milieu du segment [ AB ] si

Théorème 1 :

Les propositions suivantes sont équivalentes.

(P₁) I est le milieu de [ AB ]
(P₂) ou encore
(P₃)

(P₄) pour tout point M du plan,

Théorème 2 :

Soit ABC un triangle
M milieu de [ AB ]
N milieu de [ AC ]

Remarque :

Cette expression vectoriel résume à la fois le parallélisme des droites ( MN ) et ( BC ) et le fait que (cf. théorème de la droite des milieux vu en classe de 4^e).

Démonstration :

(d'après la relation de Chasles)

Or : (car M milieu de [ BA ])

CQFD

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Olivier

Professeur en lycée et classe prépa, je vous livre ici quelques conseils utiles à travers mes cours !

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Prof de Math

June 2008

Bravo pour ce document qui est très bien fait !