Chapitres
Tous les exemples donnés font références au cube ABCDEFGH ci-dessous :
Détermination d'un plan
Un plan est déterminé de façon unique par :
- trois points A, B et C non alignés ; on le note (ABC).
- un droite d et un point A n'appartenant pas à d.
- deux droites sécantes d et d'.
Définitions
- On dit que des éléments (des points ou des droites) sont coplanaires lorsqu'ils sont situés dans un même plan.
Exemples :
F, D, B et H sont coplanaires ; (EF) et (DC) sont coplanaires.
- Deux plans sont dits parallèles lorsqu'ils ne sont pas sécants : ainsi, soit ils sont confondus, soit ils n'ont pas de point d'intersection.
Exemple :
(ADE) et (BCF) sont parallèles.
- Un plan et une droite sont dits parallèles lorsqu'ils ne sont pas sécants : ainsi soit la droite est incluse dans les plan, soit la droite n'a pas de point d'intersection avec le plan.
Exemple :
(EG) et (ABC) sont parallèles.
- Deux droites de l'espace sont parallèles lorsqu'elle sont coplanaires et ne sont pas sécantes.
Remarque :
Deux droites parallèles distinctes d et d' déterminent un plan.
Positions relatives de plans et de droites de l'espace
Positions relatives de deux plans
Dans l'espace, deux plans peuvent être :
- sécants ; leur intersection est une droite ;
Exemple :
(ADF) et (ABC) sont sécants suivant (AD).
- parallèles, leur intersection est soit vide (plans disjoints), soit égale à l'un des plans (plans confondus)
Positions relatives d'une droite et d'un plan.
Dans l'espace, une droite et un plan peuvent être :
- sécants ; leur intersection est un point
Exemple :
(EBG) et (DF) sont sécants.
- parallèles ; leur intersection est :
- soit vide (la droite est strictement parallèle au plan),
-
- soit égale à la droite (la droite est contenue dans le plan).
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Positions relatives de deux droites
Dans l'espace, deux droites peuvent être :
- coplanaires, on retrouve alors les positions relatives de deux droites dans le plan (sécantes, confondues ou strictement parallèles)
- non coplanaires, leur intersection est vide mais elle ne sont pas parallèles.
Exemple :
(AE) et (BH) ne sont pas coplanaires.
Remarque :
Dans l'espace, si deux droites ne sont pas sécantes alors elles sont soit parallèles, soit non coplanaires.
Incidence et parallélisme
Théorème 1 :
Il existe une droite et une seule passant par un point donné et parallèle à une droite donnée.
Exemple :
La droite parallèle à (AD) passant par F est (FG).
Théorème 2 :
Il existe un plan et un seul passant pas un point donné et parallèle à un plan donné.
Exemple :
Le plan parallèle à (ABC) passant par F est (EFG).
Théorème 3 :
Si deux droites sont parallèles alors toute parallèle à l'une est parallèle à l'autre.
Exemple :
(AD) est parallèle à (BC), et (BC) est parallèle à (FG) donc (AD) et (FG) sont parallèles.
Théorème 4 :
Si deux plans sont parallèles alors tout plan parallèle à l'un est parallèle à l'autre.
Théorème 5 :
Si deux plans sont parallèles, alors tout plan qui coupe l'un coupe l'autre et les droites d'intersection sont parallèles.
Exemple :
(ABC) et (EFG) sont parallèles et (EBC) coupe (ABC) suivant (BC), donc (EBC) coupe (EFG) suivant une droite parallèle à (BC) ; comme E appartient à l'intersection, (EH) est donc la droite d'intersection de (EBC) avec (EFG).
Théorème 6 :
Si deux plans sécants sont parallèles à une droite d, alors leur droite d'intersection est parallèle à d.
Exemple :
(ADE) et (ABD) sont tous les deux parallèles à (FG) donc leur droite d'intersection (AD) est parallèle à (FG).
Théorème du toit :
Si deux plans sécants contiennent chacun une droite et si ces deux droites sont parallèles, alors la droite d'intersection des deux plans est parallèle à ces droites.
Théorème 7 :
Soit d une droite de l'espace et un plan. La droite d est parallèle au plan si et seulement s'il existe une droite d' du plan telle que d et d' soient parallèles.
Exemples :
- sens direct : (EG) est parallèle à (ABC) donc il existe une droite de (ABC) parallèle à (EG).
- sens indirect : (EH) est parallèles à (AD), or (AD) est incluse dans (ABD) donc (EH) est parallèle à (ABD).
Théorème 8 :
Deux plans sont parallèles si et seulement si l'un contient deux droites sécantes toute deux parallèles à l'autre plan.
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