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Chapitre 6. 1. Comment résoudre algébriquement une inéquation ?


20 Avril 2009 Consulté 12106 fois
cours - 2nde - Mathématiques
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1. Comment résoudre algébriquement une inéquation ? 

A- Inéquations du type ax+b <0, ax+b ≤0, ax+b>0, ax+b≥0. 

Méthode 1 : Mettre les x d'un côté, les constantes de l'autre 

♦ Principe 

N'oubliez pas les règles suivantes très importantes : 

a) Lorsque l'on divise ou multiplie par un nombre positif, le sens de l'inégalité reste inchangé. 

b) Lorsque l'on divise ou multiplie par un nombre négatif, le sens de l'inégalité change.

B- Inéquations du type (ax+b)(cx+d) < 0 et (ax+b)/(cx+d) <0

Méthode 2 : Utiliser un tableau de signes 

♦ Principe 

1/ Placer les zéros pour chacune des lignes. 

2/ Pour placer les signes, voici comment procéder : le zéro joue le rôle de frontière, on met : 

- à gauche des -, à droite des + si le nombre devant x est positif 

- à gauche des +, à droite des - si le nombre devant x est négatif

3/ Enfin, appliquer la règle des signes : 

'+ par +' donne +, '+ par -' donne -, '- par +' donne - et '- par -' donne +.

C- Inéquations du type x² ≤ a (a≥0) 

Dans ce paragraphe, on suppose que a≥0. En effet, si a < 0, alors comme un carré est toujours positif, les inéquations x² ≤ a et x² < a n'admettent pas de solution, et les inéquation x²≥ a et x² > a admettent R comme ensemble solution, tous ces cas ne présentant que peu d' intérêt, qu'en est-il alors si a ≥0 ? C'est très simple, on utilise toutes les caractérisations obtenues dans le chapitre 4 paragraphe 3.

Méthode 3 : Utiliser x² ≤ a <=> -√a ≤ x ≤ √a

♦ Principe 

Cela revient à étudier un encadrement. 

Méthode 4 : Utiliser x² < a <=> -√a < x < √a 

♦ Principe 

Encore une fois, cela revient à étudier un encadrement. 

Méthode 5 : Utiliser x² ≥ a <=> x ≥ √a ou x ≤ -√a 

♦ Principe 

Cela revient à étudier deux inégalités (mais pas les mêmes que précédemment, attention...) 

Méthode 6 : Utiliser x² > a <=> x > √a ou x < -√a

♦ Principe 

Cela revient encore une fois à étudier deux inégalités. 

D- Inéquations du type |x| ≤ r (r≥0)

Dans ce paragraphe, on suppose que r ≥ 0. En effet si r < 0, alors comme les valeurs absolues sont toujours positives, les inéquations |x| ≤ r et |x| < r n'admettent pas de solution, et les inéquations |x| ≥ r et |x| > r admettent R comme ensemble solution. Finalement, c'est comme pour les carrés. Qu'en est il alors si r ≥ 0 ? Encore une fois c'est très simple, on utilise toutes les caractéristiques obtenues dans le chapitre 4 paragraphe 3.

Méthode 7 : Utiliser la caractérisation |x| ≤ r <=> -r ≤ x ≤ r

♦ Principe 

Cela revient à étudier un encadrement. 

Méthode 8 : Utiliser la caractérisation |x| < r <=> -r < x < r

♦ Principe 

C'est clair non ?  Cela revient encore une fois à étudier un encadrement. 

Méthode 9 : Utiliser la caractérisation graphique de |x-a| ≤ r

♦ Principe 

|x-a| ≤ r équivaut ) : a-r ≤ x ≤ a+r

Méthode 10 : Utiliser la caractérisation graphique de |x-a| < r

♦ Principe 

|x-a| < r équivaut ) : a-r < x < a+r

Méthode 11 : Utiliser la caractérisation |x| ≥ r <=> x ≥ r ou x ≤ -r 

♦ Principe 

Cela revient à étudier deux inégalités. 

Méthode 12 : Utiliser la caractérisation |x| > r <=> x > r ou x <-r 

♦ Principe 

Cela revient à étudier deux inégalités. 

Méthode 13 : Utiliser la caractérisation graphique de |x-a| ≥ r

♦ Principe 

|x-a| ≥ r équivaut à : a-r ≥ x ≥ a+r

Méthode 14 : Utiliser la caractérisation graphique de |x-a| > r

♦ Principe 

|x-a| > r équivaut à : a-r > x > a+r

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