Chapitres
Définition
Une équation du second degré a pour forme générale ax²+bx+c=0.
Pour résoudre ce type d'équations en cours de maths seconde, il existe plusieurs méthodes.
Une équation du second degré peut avoir 0, 1 ou 2 solutions.
Méthodes pour résoudre une équation du second degré
Si le membre du côté gauche est identité remarquable :
Exemple 1 :
Résoudre x²-16 = 0
Ici on reconnaît d'ailleurs l'identité remarquable « a²-b² » qui permet de factoriser le premier membre du calcul sous la forme « (a-b)(a+b)»
On obtient alors :
(x+4)(x-4) = 0
La forme obtenue est appelée équation-produit.
Pour résoudre cette équation-produit, on applique la règle suivante : Un produit de facteurs est nul si l'un au moins des facteurs est nul.
Donc
x+4=0 et ainsi x=-4
ou
x-4=0 et ainsi x=4
L'équation à deux solutions : S={-4 ;-4}
Exemple 2 :
Résoudre 3x²-12x+12=0
On met « 3 » en facteur dans les trois membres, ce qui fait aparaître l'identité remarquable « a²-2ab+b² »
3(x²-4x+4)=0
On factorise grâce à l'identité remarquable ci-dessus, ce qui permet d'obtenir une équation-produit.
3(x-2)² = 0
3(x-2)(x-2) = 0
On résout l'équation-produit, qui a une solution :
(x-2)=0
x=2
L'équation a une seule solution :
S={2}
Si le membre du côté gauche a une racine évidente
Exemple :
Résoudre x²+x-2=0
on constate que si on remplace x par 1, l'égalité est vérifiée :
1² + 1 - 2 = 0
1 est une solution évidente de l'équation. On peut donc factoriser le membre de droitepar (x-1)
x²+x-2=(x-1)(Ax+B)
Si on redéveloppe (x-1)(Ax+B) pour obtenir x²+x-2, on voit que x²+x-2=(x-1)(x+2)
Donc (x-1)(x+2)=0
Donc (x-1)=0 ou (x+2)=0
Donc x=1 ou x=-2
Cas général
Méthode utilisant la forme canonique. >> voir le document
Méthode utilisant le discriminant.
Cas particulier
Exemple :
résoudre x²-8x+7=6-8x
On place tous les nombres à gauche de l'équation et on réduit le calcul.
x²-8x+8x+7-6=0
x²+1=0
On ne peut factoriser le côté gauche car on n'a ni facteur commun, ni identité remarquable. On a une somme de deux carrés : La somme de deux nombres positifs est toujours strictement positive.
Donc pour tout réel x, x²+1#0
L'égalité est impossible. L'équation n'a donc aucune solution :
S= Ø
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Bonjour,
Est-ce possible de résoudre cette équation du second degré sans utiliser la méthode des discriminants 3×2+6x-48=15?
Bonjour, on peut, lorsque l’on reconnaît une identité remarquable !
Bonne journée !