Tout l'univers repose sur l'ensemble des entiers naturels.

Pythagore de Samos

En mathématiques, il n'est pas toujours aisé de comprendre les arrondis lorsqu'on les découvre. Car oui, entre 2,3, et 2,7, il n'y a qu'un pas !

Arrondir répond à des règles bien précises, qui elles-mêmes déploient des concepts parallèles intéressants à connaître. Cependant, pour arrondir un nombre simplement, un chiffre s'impose comme une base pour commencer à comprendre les arrondis :

En effet, si le dernier chiffre à arrondir est inférieur à

5

on arrondit à ce chiffre. À l'inverse, s'il est supérieur à 5, on arrondit au chiffre suivant.

Mais tout ceci est loin de résumer tout ce qu'il faut savoir ! Entre encadrement, troncature, ou valeur approchée, petit tour d'horizon de tout ce qu'il faut savoir pour maîtriser les arrondis !

 EncadrementValeur approchéeTroncatureArrondi
DéfinitionEncadrer un nombre par un nombre inférieur et par un nombre supérieur.Nombre dont la valeur est proche du nombre donné (par défaut ou par excès)Couper un nombre après un nombre de décimales donnéValeur approchée la plus proche du nombre.
À l'unité8,89 sera compris entre 8 et 95,14 => 587,8625 devient simplement 878,299 deviendra 8
Au dixième3,41 sera compris en 3,4 et 3,54,79 => 4,7 par défaut, et 4,8 par excès,52,7524 devient 52,73,481 deviendra 3,5
Au centième7,374 sera compris entre 7,37 et 7,388,382 => 8,38 par défaut, et 8,39 par excès.73,8363 devient 73,836,387 deviendra 6,38
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C'est parti

L'encadrement ↔️

Des nombres décimaux en ligne.
Encadrer un nombre est une manière de l'arrondir.

Lorsqu'on s'intéresse aux arrondis, il est bon de comprendre ce qu'est un encadrement. Encadrer un nombre revient à prendre un nombre de base, et à lui donner un "encadrement" à travers :

  • Un nombre supérieur,
  • Un nombre inférieur.

Toutefois, pour pouvoir en donner un exemple, il faut savoir qu'il existe différents types d'encadrement.

🔲 Les types d'encadrement

L'encadrement au centième : les deux nombres sont espacés d'un centième.

Par exemple : 7,374 sera compris entre 7,37 et 7,38.

L'encadrement au dixième : les deux nombres sont espacés d'un dixième.

Exemple : 3,41 sera compris en 3,4 et 3,5

L'encadrement à l'unité.

Exemple : 8,89 sera compris entre 8 et 9.

On symbolise l'encadrement avec <.

Enfin, d'un point de vue plus mathématique, réaliser l'encadrement d'un nombre x quelconque, c'est trouver deux nombres a et b tels que a < x < b.

La valeur approchée 👀

Des nombres décimaux sur un panneau d'affichage.
Pour trouver une valeur approchée, il faut faire appel à un mécanisme assez simple !

La valeur approchée d'un nombre est un nombre dont la valeur lui est proche. Il existe deux types de valeurs approchées :

  • La valeur approchée par défaut : il s'agit du nombre directement inférieur au nombre proposé,
  • La valeur approchée par excès : le nombre directement supérieur au nombre donné.

=Quelques exemples de valeurs approchées

  • La valeur approchée à l'unité de 5,14 est 5,
  • La valeur approchée au dixième (un chiffre après la virgule) de 4,79 est 4,7 par défaut, et 4,8 par excès,
  • La valeur approchée au centième (deux chiffres après la virgule) de 8,382 est 8,38 par défaut, et 8,39 par excès.

D'un point de vue plus mathématique, voici ce que représente une valeur approchée :

Soient a et x deux nombres et e > 0. Alors a est une valeur approchée de x (ou approximation) à e près (ou à la précision près) quand |x - a|< e.

Soient a et x deux réels et e > 0,

* a est une valeur approchée de x à e près par défaut si a < x < a + e
* a est une valeur approchée de x à e près par excès si a - e < x < a

La troncature 🗡

Comme son nom l'indique, la troncature revient à... Tronquer un nombre. Concrètement, il s'agit de couper un nombre donné après un nombre de décimales précis.

Dans l'absolu, la troncature est assez facile à mettre en place, puisqu'il n'y a pas de réelle réflexion à mener pour le faire.

Un panneau de signalisation arrondi.
Un nombre tronqué à l'unité !

Encore une fois, il existe plusieurs types de troncatures.

➡️ Exemples de troncatures

  • La troncature à l'unité : on coupe après le chiffre des unités : 87,8625 devient simplement 87
  • Le troncature au dixième : on coupe après le chiffre des dixièmes : 52,7524 devient 52,7
  • la troncature au centième : on coupe après les centièmes : 73,8363 devient 73,83

Alors, plutôt simple non ?

Arrondir un nombre 🔢

Des nombres décimaux sans valeur augmentée.
Arrondir un nombre est parfois plus simple qu'il n'y paraît !

Contrairement à l'image qu'il peut renvoyer, l'arrondi ne fait pas référence directe à la forme ronde, mais plutôt à une manière de le rapprocher d'un chiffre plus rond, ou plus simple. Il s'agit ainsi de la valeur approchée la plus proche du nombre.

Pour le réaliser, il suffit de prendre le chiffre 5 comme chiffre de référence, et d'arrondir le nombre au-dessus si le chiffre se trouve au-dessus (ou s'il est égal à 5), et au-dessous, s'il se trouve en dessous.

De la même manière que la troncature, il existe plusieurs types d'arrondis.

🌊 Les différents arrondis possibles

  • L'arrondi à l'unité : on écrira ici le nombre le plus proche à l'unité : 8,299 deviendra 8 (car le 2 est inférieur à 5),
  • L'arrondi au dixième : il s'agit du nombre le plus proche au dixième : 3,481 deviendra 3,5 (car le 8 est supérieur à 5)
  • L'arrondi au centième : le nombre le plus proche au centième : 6,387 deviendra 6,38 (car le 7 est supérieur à 5)

Avec tous ces éléments, vous devriez pouvoir arrondir tous les nombres que vous trouvez sur votre passage ! À vous de jouer maintenant !

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Olivier

Professeur en lycée et classe prépa, je vous livre ici quelques conseils utiles à travers mes cours !