Chapitres
- 01. Définitions
- 02. Théorème
- 03. Unicité du couple
- 04. Remarque
- 05. Résultats corollaires
Définitions
- On appelle base de l'ensemble des vecteurs du plan tout
couple (, ) deux vecteurs non colinéaires.
- On appelle repère de plan tout triplé (O, , ) où O est un point du plan et (, ) une base.
Théorème
Soit (O, , ) un repère du plan. Pour
tout point M du plan il existe un unique couple (x, y) deux réels tels
que = x + y.
[théorème]
Unicité du couple
Si = x + y = x’ + y’
(x - x’) = (y’ - y)
Soit x - x’ ≠ 0[vecteur i =]
= k
Contraire au fait que (, ) soit une
base.
Si x - x’ = 0(x
- x’) = 0 = (y’ - y)
Où est un vecteur de la base
≠
donc y’ - y = 0
Le couple (x, y) est unique.
Remarque
Soit un repère (O, , ) du plan. Pour
tout vecteur , il exixte un point M du plan tel que :
=
= x + y
- Dire que M a pour coordonnées (x, y) dans un repère
(O, [vecteur i], [vecteur j] signifie que [vecteur OM] = x[vecteur i] +
y[vecteur j] où x est l'abscisse de M et y son ordonnée. - Dire que [vecteur u] a pour coordonnées (x, y) dans
la base ([vecteur i], [vecteur j]) signifie que [vecteur u] = x[vecteur
i] + y[vecteur j].
Soit ([vecteur i], [vecteur j]) une base et [vecteur u] (x,
y) et [vecteur v] (x', y').
- [vecteur u] = [vecteur nul] équivaut à x = 0 ou y = 0.
- [vecteur u] = [vecteur v] équivaut à x = x' et
y = y'. - [vecteur u] + [vecteur v] a pour coordonnées (x + x',
y + y') [vecteur u] + [vecteur v] = (x[vecteur i] + y[vecteur
j] + (x'[vecteur i] + y'[vecteur j]) = (x + x')
[vecteur i] + (y + y') [vecteur j] - k[vecteur u] a pour coordonnées (kx, ky) k[vecteur u] = k (x[vecteur i] + y[vecteur j]) = kx[vecteur
i] + ky[vecteur j]
Résultats corollaires
Soit (O, [vecteur i], [vecteur j]), A (xA,
yA) et B (xB, yB)
- [vecteur AB] = [vecteur AO] + [vecteur OB] = [vecteur OB] -
[vecteur OA] = (xB[vecteur
i] + yB[vecteur j]) - (xA[vecteur i] + yA[vecteur
j]) = (xB
- xA) [vecteur i] + (yB - yA) [vecteur j] [vecteur AB] (xB - xA, yB
- yA)
- Soit I milieu de [AB] [vecteur OI] = 1/2 ([vecteur OB] + [vecteur
OA])
xI[vecteur i] + yI[vecteur j] =
1/2 (xA[vecteur i] + yA[vecteur
j] + xB[vecteur i] + yB[vecteur j]) [I
milieu de AB]
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J’aimerais développer « f(x)= (2x + 1) (x – 3) + (2x +1 ) (3x + 2) »
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Bonjour! Bien sûr, avec joie, de quelle expression s’agit-il ?
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bonjour, en classe de 3ème je ne comprends pas comment factoriser 2(2x+1)+3(2x+1)
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