Chapitres
- 01. Addition
- 02. Multiplication
- 03. Carré et racine carrée
- 04. Inverse
Addition
♦ Si a < b alors a + c < b + c.
♦ Si a < b alors a - c < b - c.
♦ Si a < b et c < d alors a + c < b + d.
Exemples :
Si x < 2 alors :
x + 3 < 2 + 3
x + 3 < 5.
Si y < -5 alors :
y + 2 < -5 + 2
y + 2 < -3.
Si x < 2 et y < 5 alors :
x + y < 2 + 5
x + y < 7.
Multiplication
♦ Si a < b alors pour tout nombre c positif non nul ac < bc et .
♦ Si a < b alors pour tout nombre c négatif non nul ac > bc et .
Exemples :
Si x < y alors 3x < 3y.
Si x > y alors -2x < -2y.
Si a < b alors .
Si m < n alors .
Carré et racine carrée
♦ Si a < b alors a² < b² avec a et b positifs.
Démonstration :
a et b sont positifs et a < b.
a² - b² = (a - b) (a + b) (a - b) est négatif et (a + b) est positif
Donc : a² - b² < 0 a² < b².
La réciproque :
a² < b²
a² - b² < 0
(a - b) (a + b) < 0.
Or a + b > 0.
Donc a - b < 0 et a < b.
♦ Si a < b alors avec a et b positifs.
Démonstration :
Deux nombres positifs sont dans le même ordre que leur carré.
a < b.
Exemple :
y > 0 et y² < 4.
Donc y² < 4 donc d'où y < 2.
Inverse
♦ Si a < b alors avec a et b positifs non nuls.
Démonstration :
On sait que a < b et a et b sont positifs non nuls.
Or ab 0 et b - a > 0.
Donc et .
D'où .
Exemple :
Si x < 2 alors .
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