Vinz-95130

0. Point de vue historique :

Le mot « vecteur » vient du latin « vehere » (conduire, transporter)
La notion de vecteur est le fruit d‘une longue histoire, commencée voici plus de deux mille ans.

I. Les vecteurs :

1.Définition et vocabulaire :

Un vecteur est un objet mathématique défini par : - une direction; - un sens; - une longueur. On le représente par une flèche . Si on représente cette flèche à partir d‘un point A (appelée origine) et qu‘on note B son extrémité, alors : - La direction du vecteur est celle de la droite (AB), - Le sens du vecteur est le sens de l‘origine A vers l‘extrémité B, - La longueur (appelée norme) du vecteur est la longueur AB du segment [AB]. On a :

- Le vecteur est l‘opposé du vecteur . On a - est appelé le vecteur nul et est noté .

2. Egalité de deux vecteurs :

- a. Deux vecteurs et sont égaux si et seulement si : Les vecteurs et ont même direction, le même sens et la même longueur (norme). - b. La translation qui transforme A en B transforme aussi C en D; - c. Le quadrilatère ABDC, est un parallélogramme.(éventuellement aplati) ; Réciproquement, si ABDC est un parallélogramme alors

3. Milieu d‘un segment :

Soint A et B deux points distincts du plan . - Si M est le milieu de [AB], alors . - Réciproquement, si alors M est le milieu de [AB].

II. La translation :

1. Vocabulaire :

- Lorsque deux droites sont parallèles, on dit qu‘elles ont la même direction

- Il y a deux sens de parcours sur une droite : de A vers B ou bien de B vers A



Le déplacement de la figure a été effectué :
- dans la direction de la droite (AB)
- dans le sens A vers B, que l‘on indique par la flèche
- d‘une longueur égale à AB.
On dit que le dessin en position B est l‘image du dessin en position A par la translation qui transforme A en B
ou, autrement dit,
par la translation de vecteur .

2. Propriétés des translations :

Construire l‘image d‘une figure par une translation revient à faire glisser cette figure dans une direction, un sens et avec une longueur donnée.
Un tel glissement n‘entraîne pas de déformation ni de changement de disposition .

Dans une translation ; - les longueurs; - le parallélisme; - la perpendicularité; - les angles sont conservés. - Une translation transforme une droite en une droite parallèle. - Par une translation, une figure géométrique est transformée en une figure géométrique semblable. - Pour construire l‘image d‘une figure géométrique, on ne construit donc que l‘image de ses points caractéristiques : - pour un segment, ses extrémités; - pour un triangle, ses trois sommets; - pour un cercle, son centre et son rayon.

2. Egalité de deux vecteurs :

Deux vecteurs et sont égaux si et seulement si : - a. La translation qui transforme A en B transforme aussi C en D; - b. Le quadrilatère ABDC, est un parallélogramme.(éventuellement aplati) ;

III. Composée de deux translations et somme de deux vecteurs :

Soient A, B et C trois points du plan, la composée de la translation de vecteur suivie de la translation de vecteur est la translation de vecteur . On dit que le vecteur est la somme des vecteurs et . On note : ( cette relation est appelée « relation de Chasles »)

Construction de la somme de deux vecteurs :

On utilise la méthode du << bout à bout>>,
C‘est à dire qu‘on représente le vecteur et a son extrémité on ajoute le vecteur  et on obtient le vecteur +  qui est égal au vecteur  (d‘après la relation de Chasles).
L‘extrémité de l‘un est aussi l‘origine de l‘autre .

IV. Composée de deux symétrie centrales :

Soient I et J deux points du plan, la composée de la symétrie de centre I suivie de la symétrie de centre J est la translation de vecteur + , que l‘on note 2 .

 

Preuve :

I milieu de [AA‘] et J milieu de [A‘A‘‘]
On en déduit que AA‘=2 d‘après le théorème des milieux (étudié en quatrième).

cqfd

V. Coordonnées dans un repère :

1. Repères :

Trois points non alignés O,I,J ,tels que , définissent un repère du plan. On note souvent

2. Coordonnées d‘un vecteur.

Propriété :

Dans le plan muni d‘un repère . si deux points A et B ont pour coordonnées respectives (xA ; yA) et (xB ; yB), alors le vecteur AB a pour coordonnées  Ces coordonnées correspondent au déplacement horizontal puis vertical pour aller de A à B (affectés de signes).

Exemple :

Dans un repère du plan, soient A(1 ; 2) et B(3 ; 4)

2. Coordonnées du milieu d‘un segment :

Propriété :

Dans le plan muni d‘un repère , si deux points A et B ont pour coordonnées respectives (xA ; yA) et (xB ; yB), alors le milieu M du segment [AB] a pour coordonnées : .

Exemple :

Dans un repère  ,
on donne A(1 ; 2) et B(3 ; 4) :


conclusion :
Les coordonnées du milieu I du segment [AB] sont (2 ; 3)

Propriété :

Dans le plan muni d‘un repère,
si deux points A et B ont pour coordonnées respectives.
alors la distance entre les deux points A et B se calcule en utilisant la formule :

Attention : aucune simplification
n‘est possible dans cette formule entre la racine et les carrés .

Preuve :

Considérons le triangle ABC de la figure rectangle en C,
d‘après le théorème de Pythagore (étudié en quatrième)
AB²=AC²+BC²

Exemple :

Dans un repère du plan ,
Reprenons l‘exemple précédent avec A(1 ; 2) et B(3 ; 4) :


conclusion :
La distance AB vaut .