Résoudre une équation du premier degré, nous savons déjà le faire. Mais qu'en est-il des équations de degré 2 ? Est il possible de les résoudre ? Cherchons à comprendre comment s'étudie un polynôme du second degré et les différentes propriétés qu'il cache.
Par exemple, déterminons la forme canonique du polynôme
On commence par mettre le a=2 en facteur, on obtient
Ensuite, on fait apparaître Pour cela on fait apparaître (x+1)² :
ce qui donne finalement
Ainsi, le minimum est atteint en (-1,-3).
Exercices
Exercice 1 :
Déterminer le discriminant et les racines des polynômes suivants :
et
Affichons les résultats dans un tableau :
polynômes
discriminant
1ère racine
2ème racine
-2x²+3x+5
b²-4ac=9+40=49
(-3-7)/(-4)=10/4=2,5
(-3+7)(-4)=-1
x²+3x-4
b²-4ac=9+16=25
(-3-5)/2=-4
(-3+5)/2=1
-x²+7x-6
b²-4ac=49-24=25
(-7-5)/(-2)=6
(-7+5)/(-2)=1
Attention, il est important de bien rédiger les exercices, les réponses sont données à titre indicatif pour vérifier vos résultats.
Exercice 2 :
Déterminer l'extremum de la fonction suivante de deux façons différentes :
Corrigeons soigneusement l'exercice. Dans un premier temps, a=-1 est négatif donc le polynôme admet un maximum.
On peut calculer les coordonnées du maximum :
On détermine l'abscisse avec la formule ensuite on déterminer l'ordonnée en calculant ce qui vaut 6,25. Donc le maximum est atteint en (3,5 , 6,25).
D'une autre façon, on peut déterminer la forme canonique de la fonction afin de déterminer les coordonnées du maximum :
On commence en factorisant par -1 : Ensuite on fait apparaître l'identité remarquable afin d'avoir notre parenthèse au carré :
On retrouve bien les mêmes coordonnées pour le maximum.
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Elise
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17 August 2022∙ 3 minutes de lecture
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comment resoudre un systeme comme
X²+Y²=58
X×Y=-21
please help me