Chapitres
Equations et inéquations
I- Vocabulaire
» Une équation (ou une inéquation) du premier degré à une inconnue est une égalité (ou une inégalité) contenant une inconnue dont l'exposant est 1. Ex : 3x + 1 = 22.
» Un nombre est solution d'une équation (ou inéquation) quand, lorsqu'on remplace l'inconnue par ce nombre, l'égalité (ou l'inégalité) est vérifiée.
» Résoudre une équation (ou inéquation), c'est trouver toutes les valeurs de l'inconnue pour lesquelles l'égalité (ou l'inégalité) est vraie.
II- Equations du premier degré à une inconnue
Propriétés : En cours de mathématiques, pour résoudre une équation du premier degré à une inconnue, on peut :
» Ajouter ou soustraire un même nombre aux deux membre d'une équation, on obtient alors dune autre équation qui a les mêmes solutions de la précédente.
» Multiplier ou diviser les deux membres de l'équation par un même nombre non nul, on obtient alors une autre équation qui a les mêmes solutions que la précédente.
Exemple : Résoudre 3x + 1 = 5 - 2x.
3x + 1 = 5 - 2x
3x + 1 + 2x = 5 - 2x + 2x
5x + 1 = 5
5x + 1 - 1 = 5 - 1
5x = 4
5x/5 = 4/5
x = 4/5
L'équation a pour solution 4/5.
III- Equations produit nul
Définition : Une équation produit nul est une équation dont le premier membre est un produit de facteurs du premier degré et le second membre est 0.
Exemple : (4x - 3) (5x + 2) = 0
Propriétés :
» Dans un produit, si un des facteurs est nul, alors le produit est nul.
» Dans un produit, si le produit est nul, alors au moins l'un de ses facteurs est nul.
» Les solutions d'une équation de la forme A x B = 0 sont les solutions des équations A = 0 et B = 0.
Exemple : Résoudre (2x + 3) (5 - x) = 0
C'est une équation produit nul, donc l'un de ses facteurs est nul.
Donc,
2x + 3 = 0 ou 5 - x = 0
2x = -3 ou -x = -5
x = -3/2 ou x = 5
L'équation a pour solutions -3/2 et 5.
IV- Inéquations
Exemples :
» x ≥ 7 est une inégalité : "x est supérieur ou égal à 7". ⇒ C'est l'ensemble des nombres qui sont supérieurs ou égaux à 7.
Représentation graphique :
Remarque : Attention à l'orientation du crochet : il doit être orienté vers les solutions pour montrer que le 7 est dans les solutions !
» -3 > x. ⇒ C'est l'ensemble des nombres qui sont strictement inférieurs à -3.
Représentation graphique :
Remarque : Le crochet n'est pas orienté vers les solutions car -3 n'en fait pas partie.
Propriétés : Pour résoudre une inéquation, on peut :
» Ajouter ou soustraire un même nombre aux deux membres de l'inéquation, on obtient alors une autre inéquation qui a les mêmes solutions que la précédente.
» Multiplier ou diviser les deux membres de l'inéquation par un même nombre non nul, on obtient alors une autre inéquation qui a les mêmes solutions que la précédente, à condition de changer le sens de l'inéquation si ce nombre est négatif.
Exemple : Résoudre 5x - 1 ≤ 3x + 4.
5x - 1 ≤ 3x + 4
5x - 1 + 1 ≤ 3x + 4 + 1
5x - 3x ≤ 3x + 5 - 3x
2x ≤ 5/2
2x/2 ≤ 5/2
x ≤ 5/2
Les solutions sont tous les nombres inférieurs ou égaux à 5/2.
Représentation graphique :
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Combien de propriétés nous permettent de résoudre les inéquations ??
Bonjour, Parmi les propriétés, si a b, alors b-a est positif. Si b-a est positif, alors a b. Pour comparer deux nombres, on peut donc étudier le signe de leur différence.
Bonne journée !