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C'est parti

L'examen du brevet en deux mots

📚 L'examen du brevet en maths évalue les compétences essentielles acquises au collège. Les attentes portent sur :

La compréhension et l'application de concepts géométriques (aires, périmètres, volumes)

La résolution d'équations simples et la manipulation de fonctions

La maîtrise des notions statistiques (moyenne, médiane, mode) et la capacité de représenter des données sous forme de graphiques

La rédaction d'un plan clair et la justesse des calculs sont primordiales.

💯 Il est essentiel de réviser les formules, pratiquer des exercices variés et se familiariser avec les sujets des années précédentes.

Les formules à retenir en géométrie 📐

compas sur un bureau
Quelles sont les formules incontournables en géométrie ?

Pour réussir l'épreuve de mathématiques au brevet, il est essentiel de maîtriser les formules clés pour les aires et périmètres des figures géométriques les plus courantes.

Aires et Périmètres

Formule du périmètre du carré, du rectangle, du triangle et du cercle

Carré : P = 4 × côté

Supposons que nous ayons un carré avec un côté de longueur 5 cm.

🧮 Pour trouver le périmètre, on utilise la formule :

  • P = 4 × côté P = 4 × 5 cm = 20 cm
  • Le périmètre du carré est donc de 20 cm.

Rectangle : P = 2 × (longueur + largeur)

Considérons un rectangle avec une longueur de 8 cm et une largeur de 6 cm.

⛳️ Pour calculer le périmètre :

  • P = 2 × (longueur + largeur)
  • P = 2 × (8 cm + 6 cm) = 2 × 14 cm = 28 cm
  • Le périmètre du rectangle est de 28 cm

Triangle : P = côté1 + côté2 + côté3 (pour un triangle quelconque)

Supposons un triangle avec trois côtés de longueurs respectives de 4 cm, 5 cm et 6 cm.

🚩 Pour trouver le périmètre :

  • P = côté1 + côté2 + côté3
  • P = 4 cm + 5 cm + 6 cm = 15 cm
  • Le périmètre du triangle est de 15 cm

Cercle : P = 2 × π × rayon (π étant une constante d'environ 3,14)

Imaginons un cercle avec un rayon de 3 cm.

🛟 Pour calculer le périmètre, nous utilisons la formule :

  • P = 2 × π × rayon
  • P = 2 × 3.14 × 3 cm ≈ 18.84 cm
  • Le périmètre du cercle est d'environ 18.84 cm

Formule de l'aire du carré, du rectangle, du triangle et du cercle

Carré : A = côté × côté

Supposons que nous ayons un carré avec un côté de longueur 6 cm.

🔲 Pour trouver l'aire, on utilise la formule :

  • A = côté × côté
  • A = 6 cm × 6 cm = 36 cm²
  • L'aire du carré est donc de 36 cm²

Rectangle : A = longueur × largeur

Considérons un rectangle avec une longueur de 10 cm et une largeur de 4 cm.

📄 Pour calculer l'aire :

  • A = longueur × largeur
  • A = 10 cm × 4 cm = 40 cm²
  • L'aire du rectangle est de 40 cm²

Triangle : A = (base × hauteur) / 2

Supposons un triangle avec une base de 8 cm et une hauteur de 6 cm.

🔺 Pour trouver l'aire, on utilise la formule :

  • A = (base × hauteur) / 2
  • A = (8 cm × 6 cm) / 2 = 24 cm²
  • L'aire du triangle est de 24 cm²

Cercle : A = π × rayon²

Imaginons un cercle avec un rayon de 5 cm.

🔘 Pour calculer l'aire, nous utilisons la formule :

  • A = π × rayon²
  • A = 3.14 × (5 cm)² ≈ 78.5 cm²
  • L'aire du cercle est d'environ 78.5 cm²

Les éléments essentiels concernant les volumes

Formule du volume du cube et du parallélépipède rectangle

Formule pour calculer le volume d'un cube : Volume = côté × côté × côté ou Volume = côté³

Supposons que nous ayons un cube avec un côté de longueur 4 cm.

🧊 Pour trouver le volume, on utilise la formule :

  • Volume = côté × côté × côté
  • Volume = 4 cm × 4 cm × 4 cm = 64 cm³
  • Le volume du cube est donc de 64 cm³

Formule pour calculer le volume d'un parallélépipède rectangle : Volume = longueur × largeur × hauteur

Considérons un parallélépipède rectangle avec une longueur de 6 cm, une largeur de 3 cm et une hauteur de 5 cm.

↔️ Pour calculer le volume :

  • Volume = longueur × largeur × hauteur
  • Volume = 6 cm × 3 cm × 5 cm = 90 cm³
  • Le volume du parallélépipède rectangle est de 90 cm³

Formule du volume du cylindre

La formule pour calculer le volume d'un cylindre : Volume = π × rayon² × hauteur

Imaginons un cylindre avec un rayon de 2 cm et une hauteur de 8 cm.

⌭ Pour calculer le volume, nous utilisons la formule :

  • Volume = π × rayon² × hauteur
  • Volume = 3.14 × (2 cm)² × 8 cm ≈ 100.48 cm³
  • Le volume du cylindre est d'environ 100.48 cm³

Les formules indispensables en algèbre 💯

formules mathémathiques
Quelles sont les formules mathématiques à connaître ?

Équations et Inconnues

Résolution d'équations du premier degré

Les équations du premier degré sont des équations linéaires qui peuvent être résolues pour trouver la valeur d'une inconnue (généralement représentée par la lettre "x").

Elles sont sous la forme ax + b = 0, où "a" et "b" sont des nombres réels avec "a" différent de zéro.

👉 La formule générale pour résoudre une équation de ce type est la suivante :

x = -b / a

Cela signifie que pour trouver la valeur de "x", on isole l'inconnue en déplaçant "b" de l'autre côté de l'équation et en la divisant par "a".

✅ Prenons un cas concret :

  • Supposons que tu veuilles résoudre l'équation suivante : 3x + 5 = 11
  • Pour trouver la valeur de "x" dans cette équation, tu peux suivre ces étapes :
    • Isoler "x" en déplaçant le terme constant (5) de l'autre côté de l'équation en le soustrayant des deux côtés :
    • 3x = 11 - 5 3x = 6
  • Ensuite, pour isoler "x", divise les deux côtés de l'équation par le coefficient de "x" (qui est 3) :
    • x = 6 / 3 x = 2
  • La solution de cette équation est x = 2
  • Cela signifie que lorsque "x" est égal à 2, l'équation est satisfaite, car 3 * 2 + 5 équivaut à 11

      Utilisation de propriétés pour simplifier des équations

      Lors de la résolution d'équations, on peut utiliser certaines propriétés mathématiques pour simplifier les expressions et faciliter la recherche de la solution.

      👉 Les propriétés couramment utilisées incluent :

      • La propriété de la symétrie : ajouter ou soustraire la même quantité des deux côtés de l'équation pour maintenir l'égalité.
      • La propriété de la distributivité : multiplier un terme par une expression entre parenthèses.
      • La propriété de l'opposé : changer le signe d'un terme en ajoutant ou soustrayant son opposé.

      Notion de Fonctions

      Définition et représentation graphique d'une fonction

      Une fonction associe chaque élément d'un ensemble de départ (appelé domaine) à un élément unique d'un autre ensemble d'arrivée (appelé codomaine).

      • Elle est notée f(x) et exprimée sous la forme d'une règle reliant x à f(x)
      • La représentation graphique d'une fonction montre comment les valeurs du domaine sont transformées en valeurs correspondantes du codomaine.

      👉 Prenons un exemple concret : supposons que nous ayons une fonction f(x) définie comme suit :

      f(x) = 2x + 3

      Dans cette fonction :

      • "x" est l'entrée ou la variable indépendante
      • "f(x)" est la sortie ou la variable dépendante
      • La formule "2x + 3" indique que pour chaque valeur de "x", on multiplie "x" par 2, puis on ajoute 3 pour obtenir la valeur correspondante de "f(x)"

      Maintenant, pour représenter graphiquement cette fonction, nous plaçons "x" sur l'axe horizontal (l'axe des abscisses) et "f(x)" sur l'axe vertical (l'axe des ordonnées). Pour tracer le graphique, choisissons quelques valeurs de "x", calculons les valeurs correspondantes de "f(x)" à l'aide de la formule et marquons ces points sur le graphique. Ensuite, nous relions ces points par une droite continue.

      Par exemple, pour x = 0, f(0) = 2 * 0 + 3 = 3.

      • Donc, nous avons un point à (0, 3) sur le graphique
      • Pour x = 1, f(1) = 2 * 1 + 3 = 5
      • Nous avons donc un autre point à (1, 5) sur le graphique
      • En reliant ces deux points par une droite, nous obtenons le graphique de la fonction f(x) = 2x + 3

      Le graphique de cette fonction est une droite qui passe par les points (0, 3) et (1, 5), et il continue indéfiniment dans les deux sens. La représentation graphique permet de visualiser la relation entre les valeurs de "x" et les valeurs correspondantes de "f(x)", illustrant ainsi le comportement de la fonction dans l'ensemble de son domaine.

      Calcul de l'image et de l'antécédent d'un nombre

      • L'image d'un nombre "a" par la fonction f(x) est f(a)
      • L'antécédent d'un nombre "b" est le ou les nombres du domaine qui donnent f(x) = b

      Ces calculs sont importants pour déterminer les valeurs correspondantes et trouver les préimages d'une fonction.

      👉 Prenons un exemple concret : la fonction f(x) = 2x - 1.

      1. Calcul de l'image : Pour calculer l'image d'un nombre donné "a", on remplace "x" par "a" dans la fonction f(x) et on effectue le calcul. Par exemple, si nous voulons trouver l'image de "a = 3", nous avons : f(3) = 2 * 3 - 1 = 6 - 1 = 5

      Donc, l'image de "a = 3" par la fonction f(x) est "f(3) = 5".

      1. Calcul de l'antécédent : Pour trouver l'antécédent d'un nombre donné "b", nous devons résoudre l'équation f(x) = b pour "x". Reprenons la fonction f(x) = 2x - 1 et supposons que nous cherchions l'antécédent de "b = 7".

      2x - 1 = 7

      • Ajoutons 1 des deux côtés pour isoler le terme "2x" : 2x = 8
      • Ensuite, divisons les deux côtés par 2 pour obtenir la valeur de "x" : x = 8 / 2 x = 4
      • Donc, l'antécédent de "b = 7" par la fonction f(x) est "x = 4"

      Les statistiques et leurs méthodes à connaître 🔢

      écran avec variations statistiques
      Pourquoi apprendre les formules en statistiques ?

      Moyenne, Médiane et Mode

      Calcul de la moyenne, de la médiane et du mode d'une série de données

      Les statistiques, y compris les mesures de tendance centrale telles que la moyenne et la médiane, sont des concepts importants à connaître pour réussir l'épreuve de mathématiques du brevet.

      La moyenne est la somme de toutes les valeurs d'une série de données divisée par le nombre total de valeurs

      La médiane est la valeur centrale lorsque les données sont triées par ordre croissant ou décroissant

      Le mode est la valeur qui apparaît le plus fréquemment dans une série de données

      ✅ Exemple concret : supposons que nous ayons les notes suivantes d'un groupe d'étudiants dans un examen de mathématiques : 10, 8, 6, 9, 7, 8, 9, 8, 7.

      1. Calcul de la moyenne : Pour trouver la moyenne, on ajoute toutes les notes ensemble, puis on divise la somme par le nombre total d'étudiants. Dans cet exemple :
        • Moyenne = (10 + 8 + 6 + 9 + 7 + 8 + 9 + 8 + 7) / 9
        • Moyenne = 72 / 9
        • Moyenne = 8

      👉 La moyenne des notes est de 8

      1. Calcul de la médiane : Pour trouver la médiane, on doit d'abord trier les notes par ordre croissant ou décroissant. Dans cet exemple, les notes triées par ordre croissant sont : 6, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 9, 10. Comme nous avons un nombre impair de données (9 notes), la médiane est la valeur centrale, c'est-à-dire la 5e note :
        • Médiane = 8

      👉 La médiane des notes est de 8

      1. Calcul du mode : Le mode est la valeur qui apparaît le plus souvent dans l'ensemble de données. Dans cet exemple, la note qui apparaît le plus souvent est 8, car elle se répète trois fois :
        • Mode = 8

      👉 Le mode des notes est 8

      Interprétation des résultats et comparaison des mesures de tendance centrale

      Une fois que les mesures de tendance centrale sont calculées, il est essentiel de les interpréter correctement pour obtenir des informations significatives à partir des données.

      Par exemple, si la moyenne et la médiane sont proches, cela suggère que la distribution des données est symétrique. Si la moyenne est supérieure à la médiane, cela indique que les valeurs plus élevées ont un impact plus important sur la moyenne.

      Diagrammes et Représentations Graphiques

      Les diagrammes et les représentations graphiques sont des outils essentiels pour visualiser et analyser des données, et ils jouent un rôle important dans l'épreuve de mathématiques du brevet. On retrouve notamment trois types de diagrammes et représentations à connaître :

      • Diagramme en bâtons : Il est utilisé pour représenter des données discrètes ou catégoriques. Chaque catégorie est représentée par une barre verticale, dont la hauteur correspond à la fréquence ou à la proportion des données dans cette catégorie.
      • Diagramme circulaire : Il est utilisé pour montrer la répartition des données dans différentes catégories sous forme de parts de cercle. Chaque catégorie est représentée par un secteur dont la taille est proportionnelle à sa fréquence relative.
      • Histogramme : Il est utilisé pour représenter des données continues, comme des plages de valeurs. Les barres sont adjacentes et de largeurs égales, avec des hauteurs correspondant à la fréquence des données dans chaque plage.

      Lecture et analyse des informations à partir des graphiques

      Une fois les graphiques construits, il est important de les lire et de les interpréter correctement. Les élèves doivent être capables de décrire les tendances, de comparer des quantités, d'identifier les valeurs extrêmes et d'extraire des informations clés à partir des graphiques.

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      Olivier

      Professeur en lycée et classe prépa, je vous livre ici quelques conseils utiles à travers mes cours !