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Interprétation graphique d'un système de deux équations à deux inconnues


11 Mai 2009 Consulté 4913 fois
cours - 3ème - Mathématiques
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Interprétation graphique d'un système de deux équations à deux inconnues


 1) Interprétation graphique d'une équation à deux inconnues

 Toute équation de la forme :
 ax+by+c=0 est une équation cartésienne d'une droite.

 Exemple :
 2x+3y=5
 Cette équation peut être mise sous forme réduite, et on obtient alors
 y=-(2/3)x+(5/3)

 On retrouve donc bien la forme usuelle de l'équation de droite (fonctions affines)

 Donc tous les couples (x ;y) solutions de l'équation ax+by+c=0 sont les coordonnées des points de la droite D d'équation ax+by+c=0

 2) Interprétation graphique d'un système

 De même, tout système de la forme
 {ax+by+c=0
 {a'x+b'y+c'=0
 correspond à deux équations de droites.

 Lorsque l'on résout un tel système par le calcul, le couple (x ;y) solution du système correspond graphiquement aux coordonnées du point d'intersection des deux droites D et D', d'équations respectives ax+by+c=0 et a'x+b'y+c'=0

 Exemple :
 Résoudre graphiquement

 {x+2y-4=0
 {2x-y-3=0

 Lorsque l'on résout ce système par le calcul, on obtient comme solution le couple (2 ;1). Voir le document intitulée « Systèmes linéaires d'équations (résolution par substitution) »

 Etape 1 : Pour la résolution graphique, il faut mettre les deux équations sous forme réduite, puis tracer les deux droites D et D' correspondantes.

 D : x+2y-4=0
 donc
 D : y=-(1/2)x+2

 De même
 D' : 2x-y-3=0
 donc
 D' :y=2x-3

 Etape 2 : On trace alors la droite D en choisissant deux points :

 Si x=0 alors y=2 et si x=4 alors y=0

 De même pour D' :
 Si x=0 alors y=-3 et si x=3 alors y=3

 (Je vous rappelle qu'il suffit de deux points pour tracer une droite dont l'équation est une fonction affine, de même il suffit d'un point pour une équation linéaire de la forme y=ax car cette droite passe forcément par l'origine du repère)

 Malheureusement je n'ai pas tracé ces deux droites mais il est très facile de les obtenir car il suffit de tracer un repère orthogonal, de définir l'échelle sur chaque axes (orthonormé est le plus souvent utilisé, c'est à dire même échelle pour les deux axes).Puis finalement il suffit de placer ces points sur la figure et ainsi de les rejoindre ce qui forme les droites.

 CONCLUSION : L'intersection de ces deux droites est la solution du système qui ici doit être le couple (2 ;1)

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