Chapitres
Notations simplifiées de l'addition et de la soustraction
Pour passer aux notations simplifiées dans une suite d'additions ou de soustractions :
- On garde le signe intérieur pour les parenthèses précédées d'un signe + ;
- On change le signe intérieur pour les parenthèses précédées d'un signe - .
Exemples : (-3) + (-5) = - 3 - 5 ; (-3) - (-5) = - 3 + 5
Règles de calculs pour l'addition et la soustraction
Pour additionner deux nombres relatifs, on garde le signe du nombre qui a la plus
grande distance à zéro, puis :
- Si les nombres ont le même signe, on calcule la somme des distances à zéros ;
- Si les nombres n'ont pas le même signe, on calcule la différence des distances à zéro.
Exemples : - 3 - 5 = - 8 ; - 3 + 5 = 2
Règles des signes pour la multiplication
Le produit de deux nombres de même signe est un nombre positif.
Le produit de deux nombres de signes contraires est un nombre négatif.
Exemples : (- 3) x (- 5) = positif ; (- 7) x 8 = négatif
remarque : signe d'un produit de plusieurs facteurs
En cours de maths en ligne, si un produit de plusieurs facteurs comporte un nombre positif de facteurs négatifs, alors il est négatif, sinon il est positif.
Exemples : (- 1) x (- 1) x (- 1) x (- 1) x (- 1) = - ; (- 1) x (- 1) x (- 2) x (- 0,5) = +
Règles des signes pour les quotients
Le signe du quotient a : b est le même que celui du produit ab.
Exemples : - 8 : - 4 = 2 ; - 12 : 3 = - 4 ; 15 : - 5 = - 3
Priorités
En l'absence de parenthèse, on effectue :
D'abord les multiplications et les divisions de gauche à droite.
Puis les additions et les soustractions de gauche à droite.
Exemples : 10 - 5 x 4 = - 10 ; 12 - 7 + 5 = 10 ; 20 : 5 x 4 = 16
Fractions
1 – Plusieurs écritures d'un même quotient
- Règle de simplification : b # 0 k # 0 ka : kb = k x a : k x b = a : b
Exemples : 5 : 7 = 20 : 28 2 – Somme et différence
- Si les dénominateurs sont les mêmes, on utilise b # 0 a : b + c : b = a +c : b
Exemples : 5 : 8 + 7 : 8 = 12 : 8 = 4 x 3 : 4 x 2 = 3 : 2 5 : 8 – 7 : 8 = 5 – 7 : 8 = - 2 : 8 = - 1 : 4 3 – Produit
- Méthodes : b # 0 d # 0 a : b x c : b = ac : bd ; a : b x c = ac : b
Exemples : 4 : 3 x 7 : 6 = 28 : 18 = 14 : 9 ; 2 : 7 x 21 = 2 x 3 x 7 : 7 = 6 4 – Inverse et quotient
- x # 0 l'inverse de x est : 1 : x ou x exposant -1 ; a # 0 b # 0 l'inverse de a : b est b : a
- Méthode : b # 0 c # 0 d # 0 (a : b) : (c : d) = a : b : c : d = a : b x d : c
Exemples : 5 : (10 : 3) = 5 : 10 : 3 = 5 x 3 : 10 = 15 : 10 = 3 : 2
(5 : 10) : 3 = 5 : 10 : 3 = 5 : 10 x 1 : 3 = 1 : 2 x 1 : 3 = 1 : 6
Calcul littéral
1 – Opposé
- L'opposé d'un nombre x se note – x. Il s'obtient en changeant le signe de x.
- L'opposé d'une somme de nombres relatifs s'obtient en changeant
les signes de chaque terme.
Exemples : - (2 + x) = - 2 – x ; - (- 3 + x) = 3 – x - (5 – x) = - 5 + x ; - (- 4 – x) = 4 + x 2 – Suppression de de parenthèses Dans une suite d'additions et de soustractions, ont peut supprimer les parenthèses et le signe qui précède :
- en changeant les signes intérieurs aux parenthèses si elles sont précédées d'un signe -.
- sans changer les signes intérieurs aux parenthèses si elles sont précédées d'un signe +.
Exemples : 5 + (x – 3) = 5 + x – 3 ; 6 + (- 3 + y) = 6 + (- 3 + y) = 6 – 3 + y ; - 7 – (x – 5) = - 7 – x + 5 ; 8 - (- x + 5) = 8 + x – 5 3 – Factoriser – Réduire
- Méthodes de factorisation : ka + kb = k (a + b) ; ka – kb = k (a – b)
Utilisation pour réduire : 4x – 7x = (4 – 7)x = - 3x (on compte les x) Autre exemple : 3x² + 2x – 5 – x² + 4x + 8 = 2x² + 6x + 3 (on compte les x², puis les x, puis ce qui reste)
4 – Développer
- Méthodes de développement : k (a + b) = ka + kb ; k(a – b)= ka – kb
Remarque : en distribuant le facteur k, on doit respecter la règle des signes du produit. Exemples : 5(x – 3) = 5x – 5 x 3 = 5x – 15 ; - 3( 2x – 8) = - 3 x 2x + 3 x 8 = -6x + 24
- Double distributivité : (a + b)(c + d)= ac + ad + bc + bd
Remarque en distribuant le facteur k, on doit respecter la règle des signes du produit.
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