🧠 Les racines carrées sont un concept fondamental en mathématiques

Une racine carrée d'un nombre réel positif est un autre nombre réel dont le carré est égal à celui de ce nombre initial. Symboliquement, la racine carrée d'un nombre a est représentée par le symbole √a. Par exemple, la racine carrée de 25 est 5, car 5 x 5 = 25.

Les racines carrées sont utilisées dans divers domaines tels que :

💯 Les mathématiques, pour résoudre des équations, effectuer des opérations, simplifier des formules complexes

📐 La géométrie, pour calculer les longueurs des côtés des triangles rectangles, déterminer les distances

📈 Les sciences physiques, pour décrire les phénomènes de croissance

💰 Les finances, pour calculer des intérêts composés

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C'est parti

Comprendre et identifier une racine carrée 🔍

loupe sur un texte de mathématiques
Il faut parfois s'y prendre à deux fois pour identifier correctement une racine carrée

🌳 La racine carrée en mathématiques, ça n'a rien à voir avec les racines végétales ! Pourtant, leur fonctionnement reste assez similaire.

Tout comme la racine d'un arbre est la base à partir de laquelle les branches se déploient et se ramifient, la racine carrée est la fondation d'un concept mathématique qui se propage dans différentes directions

Des propriétés permettent d'identifier les racines carrées pour mieux les comprendre.

Le carré d'une racine carrée

La racine carrée d'un carré

L'unicité de la racine carrée positive

  1. Si l'on prend la racine carrée d'un nombre a, puis qu'on élève ce résultat au carré, on obtient le nombre initial a.
    ✅ Mathématiquement, (√a)² = a. Par exemple, (√9)² = 9
  2. La racine carrée d'un nombre élevé au carré est égale à la valeur absolue du nombre initial. Symboliquement, √(a²) = |a|. Cela signifie que la racine carrée d'un carré est toujours positive ou nulle.
    ✅ Par exemple, √(4²) = |4| = 4
  3. Pour chaque nombre réel positif a, il existe une unique racine carrée positive. Cela signifie que si b est la racine carrée positive de a, alors b est la seule valeur qui satisfait (√a)² = a et b > 0.
    ⚠️ Cependant, il est important de noter qu'un nombre a peut avoir une racine carrée négative, qui est représentée par -b, où b est la racine carrée positive de |a|.
    ✅ Par exemple, la racine carrée de 9 est 3, mais -3 est également une racine carrée de 9.

Ces propriétés des racines carrées sont essentielles pour comprendre et manipuler les expressions contenant des radicaux. Elles permettent de simplifier les calculs et de résoudre des équations impliquant des racines carrées.

Maintenant que vous avez les basiques, partez à la conquête des racines carrées !

La méthode de calcul d'une racine carrée 🧮

👉🏼 La notation √ est utilisée pour représenter la racine carrée d'un nombre

💡 Par exemple, √25 représente la racine carrée de 25, qui est égale à 5.

Cette notation est couramment utilisée pour indiquer la valeur exacte de la racine carrée sans approximation.

Il existe aussi des techniques de simplification des racines carrées. Pour simplifier une racine carrée, on recherche des facteurs carrés parmi les diviseurs du nombre sous la racine.

Par exemple, la racine carrée de 48 peut être simplifiée en séparant les facteurs carrés :

  • √(16 × 3) = √16 × √3 = 4√3

Cette simplification rend l'expression plus concise et plus facile à manipuler.

Les astuces pour simplifier correctement vos racines carrées !

Ensuite, il est possible d'utiliser la calculatrice pour définir des racines carrées approximatives.

Il y a alors deux options de calculs :

  1. Utilisation de la touche √ sur la calculatrice : La plupart des calculatrices scientifiques et des applications de calculatrice ont une touche spéciale pour calculer les racines carrées. En entrant un nombre, puis en appuyant sur la touche √, la calculatrice affiche la valeur approximative de la racine carrée. Cela est utile lorsque la valeur exacte n'est pas nécessaire et une approximation suffit.
  2. Arrondi des résultats : Lorsque l'on utilise une calculatrice pour obtenir une racine carrée approximative, il est important de noter que les résultats peuvent être arrondis à un certain nombre de décimales en fonction des paramètres de la calculatrice.
    Par exemple, la calculatrice peut afficher la racine carrée de 2 comme 1,41421356.
    ⚠️ Cependant, il est souvent préférable de limiter le nombre de décimales en fonction du contexte et de la précision requise.

Le calcul des racines carrées est un élément fondamental des mathématiques. La méthode exacte permet de trouver la valeur exacte de la racine carrée d'un nombre, tandis que l'utilisation de la calculatrice permet d'obtenir rapidement une approximation. Ces deux approches sont utiles dans différents contextes, que ce soit pour des calculs précis ou des estimations pratiques.

Types d'opérations avec les racines carrées 🤓

jeune garçon au tableau avec formules mathématiques
Addition, soustraction, multiplication, division : comment calculer les racines carrées ?

Addition et soustraction

Lorsqu'il s'agit d'additionner ou de soustraire des racines carrées, il est important de s'assurer que les radicandes sont identiques.

👩‍🏫 Définition des radicandes : ce sont les nombres placés sous la barre radicale

Si les radicandes sont les mêmes, on peut simplement ajouter ou soustraire les coefficients devant les racines carrées.

👉🏼 Par exemple :

  • √5 + √5 = 2√5
  • √8 - √2 = √6

Ainsi, si nous avons l'expression √5 + √5, nous pouvons les combiner en ajoutant les coefficients, ce qui donne 2√5.

De même, pour √8 - √2, puisque les radicandes sont différents, nous ne pouvons pas les combiner directement.

Cependant, nous pouvons simplifier l'expression en factorisant les radicandes :

  • Nous remarquons que √8 peut être simplifié en √(4 × 2)
  • Ce qui est équivalent à 2√2
  • Ainsi, l'expression devient 2√2 - √2 => (√2) × (2 - 1), soit √2.

Il est important de noter que l'addition et la soustraction des racines carrées ne peuvent se faire que lorsque les radicandes sont les mêmes. Si les radicandes sont différents, les racines carrées ne peuvent pas être combinées directement et l'expression doit être simplifiée autant que possible en utilisant des techniques telles que la factorisation.

📚 La factorisation est une technique mathématique consistant à écrire une expression algébrique, un nombre, une matrice sous la forme d'un produit

Quelques exercices pratiques d'addition et soustraction pour vous entraîner !

Multiplication et division

Pour multiplier ou diviser des racines carrées, on utilise la propriété selon laquelle la racine carrée du produit est égale au produit des racines carrées et la racine carrée du quotient est égale au quotient des racines carrées.

👉🏼 Par exemple :

  • √3 × √7 = √21
  • √12 ÷ √4 = √3

Il est important de noter que lorsque nous effectuons ces opérations, nous devons simplifier autant que possible. Si les radicandes ont des facteurs carrés communs, nous pouvons les simplifier en les séparant.

Par exemple, (√18) ÷ (√6) peut être simplifié en (√(9 × 2)) ÷ (√6), qui devient (3√2) ÷ (√6)

Dans certaines situations, il est également possible de rationaliser le dénominateur en éliminant les racines carrées du dénominateur.

Par exemple, (√5) ÷ (√2) peut être rationalisé en (√5)/(√2) × (√2)/(√2), ce qui donne (√10)/2

En résumé, lors de la multiplication de racines carrées, nous multiplions les coefficients et les radicandes, tandis que dans la division de racines carrées, nous divisons les coefficients et les radicandes. Il est essentiel de simplifier autant que possible en recherchant des facteurs carrés communs et en rationalisant si nécessaire.

Simplifier l’écriture d’un quotient contenant des racines carrées 

  • Utilisez la propriété : √a/√b = √(a/b)
    • √18/√2 = √((18/2) = √9 = 3
  • Transformez l’écriture de √a en √ (bxc) puis simplifier l’écriture du quotient
    • √18 / √2  =  √(2x9) / √2  =  √2 x √9 / √2  =  √9  =  3
  • Si ce sont les racines carrées d’un même nombre, factoriser
    • 5√6 + 2√6 = (5+2)√6 = 7√6
  • Sinon, transformer l’écriture de √a en √(bxc) puis factoriser
    • 6√2 – 3√18   =   6√2 – 3√(9x2)   =   6√2 – 3 x 3√2   =   6√2 – 9√2   =   (6-9)√2   =   -3√2

Champs d'application divers des racines carrées 📏

feuilles de rapport financier
Les racines carrées sont utiles à bien des égards...

📐Les racines carrées sont fréquemment utilisées en géométrie pour calculer les longueurs des côtés des triangles rectangles. Selon le théorème de Pythagore, dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. Ainsi, si les longueurs des deux côtés sont connues, on peut utiliser la racine carrée pour trouver la longueur de l'hypoténuse.

Une représentation graphique du calcul pour le théorème de Pythagore

🔢 Les racines carrées sont également utiles dans les problèmes de mesure, notamment pour calculer des grandeurs telles que la distance, l'aire et le volume. Par exemple, dans le calcul de l'aire d'un cercle, on utilise la formule A = πr², où r est le rayon.

👉🏼 Pour trouver le rayon, on peut utiliser la racine carrée de l'aire divisée par π

🏦 Les racines carrées sont utilisées en finance pour calculer des grandeurs telles que la volatilité des actifs financiers. Par exemple, la volatilité historique d'un actif est calculée en prenant la racine carrée de la variance de ses rendements.

👉🏼 Cela permet d'évaluer les risques associés à un investissement et de prendre des décisions éclairées en matière de gestion de portefeuille

Les exemples d'application des racines carrées illustrent leur pertinence dans divers domaines mathématiques. Elles permettent de résoudre des problèmes concrets, d'effectuer des calculs précis et d'obtenir des résultats significatifs dans le contexte de la géométrie, de la mesure et d'autres disciplines mathématiques. Comprendre les opérations avec les racines carrées et leur application pratique est essentiel pour développer des compétences mathématiques approfondies et résoudre des problèmes mathématiques du monde réel.

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Olivier

Professeur en lycée et classe prépa, je vous livre ici quelques conseils utiles à travers mes cours !