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Polygones réguliers


5 Mai 2009 Consulté 3735 fois
cours - 3ème - Mathématiques
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Polygones réguliers



1) Définition


 Un polygone régulier est un polygone dont tous les côtés ont la même longueur et tous les angles ont la même mesure.


 2) Propriétés

 a) Cercle circonscrit et polygone régulier

Pour tout polygone régulier, il existe un cercle C passant par tous les sommets du polygone, et de centre O. Ce cercle est appelé cercle circonscrit au polygone et on dit que son cercle O est le centre du polygone.



 b) Rotation et polygone régulier

Si A et B sont deux sommets consécutifs d'un polygone régulier de centre O, la rotation de centre O et d'angle AOB dans un sens quelconque, transforme le polygone régulier en lui-même.



 c) Angle au centre d'un polygone régulier

Tous les angles au centre d'un polygone régulier ont la même mesure.



 3) Méthode pour construire un polygone régulier

 Pour construire un polygone régulier, on utilise souvent les propriétés précédentes.

 a) A l'aide du cercle circonscrit

Exemple :

 Construire un hexagone régulier de centre O et de rayon 4cm
 Etape 1 : On trace le centre O et un rayon horizontal OC=4cm
 Etape 2 : Un hexagone possédant 6 côtés, on divise l'angle de 360° en 6 angles égaux :
 Ici on a :360/6=60°
 Etape 3 : A l'aide du rapporteur, on trace les 6 angles au centre de 60°
 Etape 4 : Au compas, on trace le cercle de centre O et de rayon 4cm. Les six sommets de l'hexagone ABCDEF sont les points d'intersection entre les demi-droites issues de O, et le cercle circonscrit C.

 b) A l'aide d'une rotation

Exemple :


 Construire un octogone régulier de côté 1,2cm
 Etape 1 : On calcule la mesure de l'angle ABC
 Dans le triangle ABO isocèle en O, l'angle au centre AOB mesure 360/8=45°
 Donc les angles ABO et BAO mesurent :
 (180-45)/2 = 67,5°
 Donc ABC=2*67,5=135°

 Etape 2 :On construit le sommet C à l'aide d'une rotation : C est l'image de A par la rotation de centre B et d'angle 135°

 Etape 3 :De même, on construit ensuite les sommets D, E, F, G, H par une rotation d'angle 135°

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