Série Collège : corrigé du brevet de mathématiques session 2007

Série Collège : corrigé du brevet de mathématiques session 2007

Pour voir le sujet, Cliquez ici

Activités numériques (12 points)

Exercice 1 :

1. Pour trouver le résultat, il suffit de se servir de la première identité remarquable (a + b)² = a² + 2ab + b².
   
(3x + 5)² = 9x² + 30x +25

2. Pour trouver l'expression qui est égale à dix pour x = 4, il suffit de remplacer x par 4 dans chaque expression.

x (x + 1) devient : 4 (4 + 1) = 16 + 4 = 20

(x + 1) (x - 2) devient : (4 + 1) (4 - 2) = 16 - 8 + 4 - 2 = 10

(x + 1)² devient : (4 + 1)² = 16 + 8 + 1 = 25

Donc l'expression correcte est (x + 1) (x - 2).

3. Pour trouver la valeur exacte de cette fraction, il suffit de la simplifier et de réduire.

√48 = √(16 χ 3) = 4√3 = 2√3
  2          2            2

4. Pour trouver le nombre qui est solution de cette équation, il suffit de la réduire.

2x - (8 + 3x) = 2
2x - 8 - 3x = 2
-x = 10
x = -10

5. Pour trouver le pourcentage total de filles, il suffit de trouver le nombre de fille dans chaque classe et de trouver le pourcentage des deux classes mélangées. 

En 3°A, 40 % de la classe (30 élèves) sont des filles donc le nombre de filles est de :
 40  χ 30 = 12
100

En 3°B, 60 % de la classe (20 élèves) sont des filles donc le nombre de filles est de :
 60  χ 20 = 12
100

Dans les deux classes réunies, il y a 24 filles et 50 élèves. Le pourcentage total de filles est donc de :
24 =   48           ou          48 % 
50     100

Exercice 2 :

1.On choisit le nombre -2
-2 + 4 = 2
2 χ (-2) = -4
-4 + 4 = 0
On obtient 0.

2.On choisit le nombre 5
5 + 4 = 9
9 χ 5 = 45
45 + 4 = 49
On obtient 49.

3. a .On choisit 10
10 + 4 = 14
14 χ 10 = 140
140 + 4 = 144
On obtient 144 ou 12².

On choisit 3
3 + 4 = 7
7 χ 3 = 21
21 + 4 = 25
On obtient 25 ou 5².

b. On remplace le nombre choisit par x. Cela nous donne :
[(x + 4) χ x] + 4
On développe :
x² + 4x + 4
Cette expression ne vous rappelle rien ? Mais si !!! Il s'agit du premier produit remarquable : (a + b)² = a² + 2ab + b². On factorise :
(x+2)²

Puisque x est un nombre entier, x + 2 en est un également. Le résultat, quant à lui, est le carré d'un entier.

4. On reprend l'expression factorisée et on la complète avec les données :
(x + 2)² = 1
On cherche à trouver un produit de facteurs nuls :
(x + 2)² - 1 = 0
Ici, nous avons encore affaire à un produit remarquable. Et cette fois-ci, c'est le troisième : (a + b) (a - b) = a - b. On factorise :
(x + 2 - 1) (x + 2 + 1) = 0
Maintenant, on réduit :
(x + 1) (x + 3) = 0
On utilise la propriété suivante : si un produit de facteurs est nul, alors au moins un des deux facteurs est nul. On applique :
Soit x + 1 = 0                    Soit x + 3 = 0
       x = -1                                x = -3

On doit donc choisir entre -1 et -3.

 
Activités géométriques (12 points)

Exercice 1 :

1. a. On sait que :
* ABC est un triangle
* AB² + BC² = 9² + 12² = 81 + 144 = 225
* AC² = 15² = 225

Donc AB² + BC² = AC²

D'après la réciproque du théorème de Pythagore, ABC est rectangle en B.

b. Voici la figure demandée. Ici les longueurs ont été réduites de moitié.
La figure est complétée au fur et à mesure des exercices.

 

2. b. On sait que :
* ABC est un triangle
* A, E, B sont alignés dans cet ordre
* A, F, C sont alignés dans cet ordre
* AE = 3 = 1
   AB    9    3       ---->             AE = AF
* AF = 5 = 1       ---->             AB    AC
   AC  15    3

Donc, d'après la réciproque du théorème de Thalès, (EF) // (BC).

3. Rappelons que pour calculez l'aire d'un triangle, il faut multiplier la hauteur et la base entre elles et de diviser le résultat. On a déjà la mesure de la hauteur EA, il faut donc trouver la mesure de la base EF.

=> On sait que :
* (BC) et (BA) sont perpendiculaires
* (EF) // (BC)

Or, d'après la propriété, si deux droites sont parallèles alors toute perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre.

Donc (EF) et (BA) sont perpendiculaires.

=> On sait que :
* AEF est un triangle rectangle en E

Or, d'après le théorème de Pythagore, on a :  EF² + EA² = FA²

EF² = FA² - EA²
EF² = 5² - 3²
EF² = 25 - 9
EF² = 16

EF = 4 cm

=> A_AEF = EF x EA = 4 x 3 = 12 = 6
                    2          2        2

L'aire du triangle AEF est égale à 6 cm².

REMARQUE : On peut également trouver l'aire du triangle AEF avec Thalès (pour trouver EF) mais aussi grâce aux réductions (le triangle AEF est une réduction du triangle ABC).

Exercice 2 :

1. On sait que :
* ABD est inscrit dans le cercle de centre O
* [BD] est un côté du triangle ABD et également un diamètre du cercle

Or, d'après la propriété, si un triangle est inscrit dans un cercle et si un de ses côtés est un diamètre de ce cercle, alors ce triangle est rectangle.

Donc, ABD est un triangle rectangle.

2. => On sait que :
* L'angle ADB et l'angle ACB sont des angles inscrits interceptant le même arc AB.

Or, d'après la propriété, si deux angles inscrits interceptent le même arc, alors il ont la même mesure.

Donc l'angle ADB est égal à l'angle ACB.

Mais combien mesurent ces deux angles ? C'est très simple :

=> On sait que :
* ABC est un triangle équilatéral

Or, d'après la définition, les angles d'un triangle équilatéral sont égaux et mesurent 60°

Donc l'angle ACB et l'angle ADB mesurent tous les deux 60°.

L'angle ADB mesure donc 60°.

3. =>On sait que :
* Le vecteur OC est égal au vecteur OD

Donc, OCED est un parallélogramme.

=>On sait que :
* OD et OC sont des rayons du cercle.

Donc, OD=OC.

=> On sait que :
* OCED est un parallélogramme
* OD=OC

Or, d'après la propriété, un parallélogramme ayant deux côtés consécutifs égaux est un losange.

Donc, OCED est un losange.

=> On sait que:
* OCED est un losange

Or, d'après la propriété, les diagonales d'un losange sont perpendiculaires.

Donc, (DC) et (OE) sont perpendiculaires.

REMARQUE : Bien sûr, je pense que ce n'est pas le résonnement le plus court.

Problèmes (12 points)

Partie I

1. On sait que :
* IBAE est un rectangle

Or, d'après la propriété, les côtés opposés d'un rectangle sont égaux.

Donc EA = IB = 2 m.

Il ne nous reste plus qu'à faire une soustraction :
HI = HB - IB
HI = 5 - 2
HI = 3 m.

2. => On sait que :
* IBAE est un rectangle

Or, d'après la propriété, les côtés opposés d'un rectangle sont égaux.

Donc BA = IE = 2,25 m.  

=> On sait que :
* HIE est rectangle en I

Donc, d'après le théorème de Pythagore, on a : HE² = IE² + HI²

HE² = 2,25² + 3²
HE² = 5,0625 + 9
HE² = 14,0625

HE = 3,75 m.

3. Dans le triangle IHE rectangle en I :

cos IHE = HI =   3  = 0,8
              HE    3,75

IHE = 37° (arrondi au degré près).

Partie II
  
1. On sait que :
* IHE est rectangle en I
* L'angle IHE mesure 45° et l'angle EIH mesure 90°

Or, d'après la propriété, les angles d'un triangle sont supplémentaires.

Donc, IEH = 180 - (90 + 45) = 180 - 135 = 45°.

Or, d'après la propriété, les angles de la base d'un triangle isocèle sont égaux.

Donc, HIE est un triangle isocèle rectangle en I.

2. => On sait que :
* HIE est un rectangle isocèle

Or, d'après la propriété, les côtés (opposés à la base) sont égaux.

Donc HI = IE

On sait que :
* IBAE est un rectangle

Or, d'après la propriété, les côtés opposés d'un rectangle sont égaux.

Donc IE = BA = 2,25 m.

=> IB = HB - HI
IB = 5 - 2,25
IB = 2,75

On sait que :
* IBAE est un rectangle

Or, d'après la propriété, les côtés opposés d'un rectangle sont égaux.

Donc IB = AE = 2,75 m.

Partie III

1. Dans le triangle HIE rectangle en I :

tan 60° = IE = 2,25
               HI     HI

HI = 2,25
       tan 60°

HI = 1,30 m (arrondi au cm près)

2. IB = HB - HI
IB = 5 - 1,30
IB = 3,70 m

On sait que :
* IBEA est un rectangle

Or, d'après la propriété, les côtés opposés d'un rectangle sont égaux.

Donc IB = AE = 3,70 m.

Partie IV




D'après le graphique, en suivant les pointillés, on voit que 50° est une mesure possible pour cet angle.

REMARQUE : Bien sûr, il y a d'autres réponses.