Chapitres
La géométrie étudie les formes, les dimensions et les propriétés spatiales des objets. Un triangle est une figure géométrique composée de trois côtés et trois angles.
🚩 Les triangles peuvent être classés en fonction :
De la longueur de leurs côtés (équilatéral, isocèle, scalène)
De la mesure de leurs angles (aigu, obtus, droit)
🤷♂️ À retenir : la somme des angles d'un triangle est toujours égale à 180 degrés
La trigonométrie utilise les triangles pour résoudre des problèmes impliquant des angles et des longueurs.
Découvrez-en plus sur la géométrie et la trigonométrie dans cet article.
Les éléments de base du triangle 🔺
Un triangle en termes mathématiques est une figure géométrique plane composée de trois segments de droite qui se rencontrent à trois sommets distincts. Les éléments principaux d'un triangle sont les suivants :
- Les côtés : Ce sont les segments de droite qui relient les sommets du triangle. Un triangle a toujours trois côtés.
- Les angles : Les angles sont formés par l'intersection des côtés. Un triangle a toujours trois angles.
- Les sommets : Ce sont les points où se rejoignent les côtés. Un triangle a toujours trois sommets.
Pour bien appréhender un triangle, il faut comprendre comment il est construit et les définitions qui lui sont attribuées.
Les côtés du triangle
📐 Les côtés d'un triangle sont des segments de droite qui relient les sommets de la figure. Il y a trois côtés dans un triangle, chacun ayant ses propres caractéristiques :
- Le côté le plus long est appelé "hypoténuse" dans un triangle rectangle
- Les deux côtés plus courts sont les "côtés adjacents"
Dans un triangle équilatéral, tous les côtés ont la même longueur. Les côtés d'un triangle peuvent être classés en fonction de leur longueur : équilatéral (tous de même longueur), isocèle (deux côtés égaux), ou scalène (tous de longueurs différentes).
Les angles du triangle
📚 Les angles d'un triangle sont les mesures des ouvertures formées par l'intersection de ses côtés. Il y a trois angles dans un triangle, chacun ayant ses propres caractéristiques :
- L'angle le plus grand est souvent appelé "angle obtus" s'il mesure plus de 90 degrés
- L'angle de 90 degrés est un "angle droit" et se trouve dans les triangles rectangles
- Les angles plus petits que 90 degrés sont appelés "angles aigus"
- Dans un triangle équilatéral, tous les angles mesurent 60 degrés.
⚠️ La somme des angles d'un triangle est toujours égale à 180 degrés, une règle fondamentale en géométrie
✅ À retenir, le SOH-CAH-TOA :
Les sommets du triangle
🏔️ Les sommets d'un triangle sont les points où les côtés du triangle se rencontrent. Un triangle a toujours trois sommets, qui sont les points de jonction des côtés. Les sommets sont nommés en fonction de leur emplacement par rapport aux côtés :
- Le sommet opposé au côté le plus long est souvent appelé "sommet opposé" ou "sommet de l'hypoténuse" dans un triangle rectangle.
Les sommets jouent un rôle crucial dans la définition de la forme et des propriétés d'un triangle. Ils sont utilisés pour nommer et décrire les angles du triangle en géométrie. Les sommets sont des éléments fondamentaux dans l'étude et la classification des triangles.
Les types de triangles et leurs terminologie ⛳️
Dans cette partie, nous allons définir les différents types de triangles en fonction de leurs propriétés.
Le triangle équilatéral
💁♀️ Le triangle équilatéral est une figure géométrique spéciale caractérisée par trois côtés de longueurs égales et trois angles de mesure égale. Ses principales caractéristiques sont les suivantes :
- Côtés égaux : Les trois côtés du triangle équilatéral ont la même longueur. Cela signifie que si l'un des côtés est mesuré, les deux autres auront la même longueur
- Angles égaux : Les trois angles du triangle équilatéral ont tous la même mesure, qui est de 60 degrés. Chacun des trois angles intérieurs est de 60 degrés, ce qui signifie que la somme totale des angles intérieurs est de 180 degrés, comme dans tout autre triangle
- Sommets : Le triangle équilatéral a trois sommets distincts où ses côtés se rejoignent. Ces sommets sont également équidistants les uns des autres
Le triangle équilatéral est une figure régulière et symétrique, souvent utilisée en géométrie et dans divers domaines mathématiques et scientifiques pour sa simplicité et ses propriétés bien définies.
Le triangle isocèle
🥐 Le triangle isocèle est une figure géométrique qui se distingue par deux côtés de longueurs égales, appelés "côtés égaux", et un troisième côté de longueur différente, appelé "côté base". Ses principales caractéristiques sont les suivantes :
- Côtés égaux : Deux des trois côtés du triangle isocèle ont la même longueur, ce qui signifie que ces côtés sont égaux en longueur
- Côté base : Le troisième côté du triangle isocèle est de longueur différente par rapport aux côtés égaux et est appelé le "côté base"
- Angles égaux : Les angles opposés aux côtés égaux sont égaux en mesure. Cela signifie que les deux angles à la base du triangle sont égaux entre eux
- Sommets : Le triangle isocèle a trois sommets distincts où ses côtés se rejoignent
👉 Petite anecdote : ce sont des triangles isocèles qui sont la base pour faire des croissants !
Le triangle scalène
🤷♂️ Le triangle scalène est une figure géométrique caractérisée par trois côtés de longueurs différentes et trois angles de mesures différentes. Ses principales caractéristiques sont les suivantes :
- Côtés de longueurs différentes : Les trois côtés du triangle scalène ont des longueurs différentes. Aucun des côtés n'est égal en longueur à un autre côté
- Angles de mesures différentes : Les trois angles du triangle scalène ont des mesures différentes. Aucun des angles n'est égal en mesure à un autre angle du triangle
- Sommets : Le triangle scalène a trois sommets distincts où ses côtés se rejoignent
Il existe bien entendu d'autres types de triangles, mais ce sont là les principaux à connaître.
Propriétés spéciales et théorèmes des triangles 📐
Dans cette dernière section, nous allons voir des théorèmes et règles importantes pour les triangles.
Le théorème de Pythagore
👨🏫 Le théorème de Pythagore est un principe fondamental de la géométrie qui s'applique aux triangles rectangles. Ses principales caractéristiques sont les suivantes :
- Triangle Rectangle : Le théorème de Pythagore s'applique spécifiquement aux triangles rectangles, c'est-à-dire des triangles qui ont un angle droit (un angle de 90 degrés)
- Hypoténuse : Dans un triangle rectangle, le côté opposé à l'angle droit est appelé "hypoténuse". On le note généralement avec la lettre "c"
- Côtés Adjacents : Les deux autres côtés du triangle rectangle, qui sont adjacents à l'angle droit, sont appelés "côtés adjacents". On les note généralement avec les lettres "a" et "b"
- Formule : Le théorème de Pythagore énonce que la somme des carrés des longueurs des côtés adjacents est égale au carré de la longueur de l'hypoténuse. Cela se traduit mathématiquement par : a² + b² = c²
Exemple concret
Imaginons un triangle rectangle où les deux côtés adjacents (a et b) mesurent respectivement 3 unités et 4 unités. Nous voulons trouver la longueur de l'hypoténuse (c).
- Selon le théorème de Pythagore : a² + b² = c²
- Dans notre cas : 3² + 4² = c² 9 + 16 = c² 25 = c²
Maintenant, pour trouver c, prenons la racine carrée des deux côtés de l'équation :
- √25 = √c² 5 = c
Donc, dans ce triangle rectangle, l'hypoténuse mesure 5 unités.
Le théorème de Thalès
👍 Le théorème de Thalès est un principe fondamental de la géométrie, utilisé pour résoudre des problèmes de proportionnalité dans les triangles semblables. Il stipule que si une droite traverse deux côtés d'un triangle et est parallèle au troisième côté, alors elle divise les côtés du triangle en segments de longueurs proportionnelles.
En d'autres termes, si vous avez deux triangles similaires formés par cette droite et les côtés du triangle d'origine, alors les rapports des longueurs des côtés de ces triangles sont égaux.
Mathématiquement, cela peut être exprimé comme AB sur DE = BC sur EF = AC sur DF
Exemple concret
Le théorème de la droite des milieux
Le théorème de la droite des milieux est un concept géométrique qui concerne les segments de droite. Il stipule que si vous avez un quadrilatère quelconque, et que vous reliez les milieux des côtés opposés du quadrilatère, vous obtiendrez un segment de droite qui est parallèle et égal à la diagonale du quadrilatère.
En d'autres termes, les segments reliant les milieux des côtés opposés sont équivalents et parallèles à la diagonale du quadrilatère. Ce théorème est particulièrement utile pour démontrer la congruence et la parallélisme dans les quadrilatères, simplifiant les preuves géométriques et permettant de résoudre divers problèmes en utilisant les propriétés des segments de droite et des quadrilatères.
Exemple concret :
Imaginons un quadrilatère ABCD. Les points A(2,2), B(6,2), C(8,6), et D(4,6) sont les coordonnées de ses sommets dans un plan cartésien.
Pour appliquer le théorème de la droite des milieux, calculons d'abord les milieux des côtés opposés du quadrilatère :
- Le milieu du segment AB est E, dont les coordonnées sont [(2+6)/2, (2+2)/2] = (4,2).
- Le milieu du segment CD est F, dont les coordonnées sont [(8+4)/2, (6+6)/2] = (6,6).
Maintenant, nous pouvons vérifier que le segment EF est parallèle et égal à la diagonale AC :
- La longueur de la diagonale AC est la distance entre A(2,2) et C(8,6), calculée par la distance euclidienne : √[(8-2)² + (6-2)²] = √36 + 16 = √52 ≈ 7.21 unités.
- La longueur du segment EF est également la distance entre E(4,2) et F(6,6) : √[(6-4)² + (6-2)²] = √4 + 16 = √20 ≈ 4.47 unités.
Nous constatons que EF et AC ont des longueurs équivalentes et sont alignés dans la même direction, conformément au théorème de la droite des milieux.
Vous avez aimé cet article ? Notez-le !
Loading...
Si vous désirez une aide personnalisée, contactez dès maintenant l’un de nos professeurs !
Bonjour, suis technicien en batiment et travaux publiques,amoureux des maths, j’aimerais plus developper mes connaissances dans ce domaine
Merci…
Bonjour Elion ! Ça nous ferait plaisir de vous aider. Avez-vous essayé de contacter l’un de nos professeurs pour recevoir une aide personnalisée ? Excellente journée ! 🙂
je pourrais bien me renseigner sur ça
c’est vrai c’est pareil pour moi
J’ai du mal à repérer le côté opposé, l’hypoténuse,et le côté adjacent d’un angle droit
C est le côté qui ne forme pas l angle droit dans le triangle. Ainsi si ABC est le triangle droit , si l angle droit est ABC donc l angle droit est formé par les côté AB et AC . ainsi l hypothenus est le côté AC.
Le théorème de phytagore dans un triangle droit dicte que que la racine carre de la mesure (AB au carré + CB au carre= la racine carre de la mesure AB au carre.
Ainsi pour démontrer qu un triangle ABC est un triangle droit en B il suffit de vérifier que l égalité donnée ci dessus par le théorème de phytagore est vérifiée.
On peut également déduire la mesure d un côté d un triangle si on a la mesure des deux côtés restant et si on nous dit ce triangle est droit. Cela se fait via la formule du théorème de phytagore.
Sur les chantier , jusqu a la date d aujourd,hui, les maçons ou les géomètre utilisent cette formule pour tracer des angles droit et pouvoir construire des murs formant un angle droit. Il leur suffit d utiliser cette formule et choisir des mesure de cotes d un triangle droit.
Comment faire si notre angle opposé est l’hypoténuse ?
Tout d’abord, on ne parle pas d’angle opposé, mais de côté opposé (à un angle donné du triangle rectangle). Dans un triangle rectangle, le côté opposé à l’angle droit est effectivement l’hypoténuse. Mais cela n’a pas de sens d’utiliser le théorème de Pythagore pour tenter de déterminer cet angle, puisqu’on le connaît déjà : c’est l’angle droit, de même le sinus de 90° est 1, le cosinus 0, la tangente est non définie (cos donne une division par 0 dans sin/cos)