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Opération de deux  nombres relatifs

Règle des signes

Propriété ( Règle des signes) :

Le PRODUIT de deux nombres relatifs de même signe est positif.  Le PRODUIT de deux nombres de signes contraires est négatif.

Produit+-
++-
--+

Produit de deux nombres relatifs

Propriété : Pour multiplier deux nombres relatifs :

  • 1. On applique la règle des signes
  • 2. On multiplie les distances à zéro.

Exemples : 

3,5 × (-2) = - (3,5 × 2) = -7    

(-3) × (-4) = + (3 × 4) = 12.

Cas d'une division en écriture décimale

En cours de maths en ligne, on applique la règle des signes.

  • Le quotient de deux nombres de même signe est positif.
    −18,2÷−3,5=18,2÷3,5=5,2
  • Le quotient de deux nombres de signes contraires est négatif.
    18,2÷−3,5=-(18,2÷3,5)= −5,2

Cas d'une division en écriture fractionnaire

On transforme la division en une multiplication par l'inverse et on applique la règle des signes.

• 1er exemple :

• 2e exemple :

Règle des nombres relatifs

Pour multiplier ou diviser deux nombres relatifs la règle est la suivante :

La distance à zéro (ou valeur absolue) du résultat s'obtient en multipliant (ou divisant) les distances à zéro des deux nombres.

Le signe du résultat s'obtient grâce à la fameuse règles des signes :

PLUS par PLUS donne PLUS

PLUS par MOINS donne MOINS

MOINS par PLUS donne MOINS

MOINS par MOINS donne PLUS

'par' pour 'multiplié par' ou 'divisé par' : la règle des signes est la même pour les deux opérations.

Exemples :

(+ 3) x (- 5) = (- 15)

(+ 2,5) x (+ 3) = (+ 7,5)

(- 11) x (- 6) = (+ 66)

(- 42) ÷ (+ 7) = (- 6)

(- 21) ÷ (- 6) = (+ 3,5)

 

La multiplication des nombres relatifs doit conserver les propriétés connues de la multiplication et des nombres. Par exemple :

  • (+ 2) x (+ 3) c'est la même chose que 2 x 3 : donc le résultat est 6, ou (+ 6).
  • (+ 3) x (- 5) c'est la même chose que 3 x (- 5) = (- 5) + (- 5) + (- 5) = (- 15)
  • La multiplication est commutative (on peut changer l'ordre) donc (- 5) x (+ 3) = (- 15)

Ainsi se justifient les trois premières lignes de la 'règle des signes' pour la multiplication. C'est un peu plus compliqué pour la multiplication de deux nombres négatifs.

Considérons le calcul :

A = (- 5) x [ (+ 3) + (- 3) ]

A = (- 5) x 0 parce que (+ 3) + (- 3) = 0 (somme de deux nombres opposés)

A = 0.

Mais comme la multiplication est distributive par rapport à l'addition, on a aussi

A = (- 5) x (+ 3) + (- 5) x (- 3)

donc A = (- 15) + (- 5) x (- 3)

En cours de maths seconde, comme on sait que le résultat est A = 0, on en déduit que (- 15) + (- 5) x (- 3) doit être égal à 0.

Pour cela il faut que (- 5) x (- 3) = (+ 15) (l'opposé de (- 15) )

Ainsi se justifie la dernière ligne de la règle des signes pour la multiplication.

La division

Une division donne le résultat d'une multiplication à trou :

(+8) ÷ (+2)= ? c'est comme ? x (+2) = (+8) ===>? = (+4), donc (+8) ÷ (+2) = (+4)

(-15) ÷ (+3)= ? c'est comme ? x (+3) = (-15) ===>? = (-5 ), donc (-15) ÷ (+3) = (-5)

(+24) ÷ (-6)= ? c'est comme ? x (-6) = (+24) ===>? = (-4), donc (+24) ÷ (-6) = (-4)

(-14) ÷ (-7)= ? c'est comme ? x (-7) = (-14) ===> ? = (+2), donc (-14) ÷ (-7) = (+2)

Où trouver des cours de maths pour réviser avant une épreuve ?

Produit d’un nombre relatif par (-1)

Remarque : Multiplier un nombre par (-1) revient à prendre l’opposé de ce nombre.

Exemples : 

-  3,5 × (-1 ) = - (-3,5) = 3,5

(-1) × 1,2 = -1,2

(-1) × (-1) = - (-1) = 1.

Notation :  l’opposé du nombre a se note – a.

Attention : - a peut être un nombre positif dans le cas où a est négatif. Exemple : - (-2,1) = 2,1 

Carré d’un nombre relatif

Rappel : Le carré d’un nombre relatif a est le produit de ce nombre par lui-même.

Remarque : Le carré d’un nombre relatif est un nombre positif (d’après la règle des signes).

Exemples : 

82 = 8 × 8 = 64 ;                 (-5)2 = (-5) × (-5) = 25

On notera qu'il n'est pas possible d'effectuer un calcul du carré d'un nombre relatif avec deux signes différents.

Opération de plusieurs nombres relatifs

Règle des signes « répétés »

Propriété (Règle des signes « répétés ») :

Un produit de nombres relatifs est positif s’il comporte un nombre pair de facteurs négatifs.

Un produit de nombres relatifs est négatif s’il comporte un nombre impair de facteurs négatifs.

Exemples :

−4 × −2,7 × 3 × −1,7 × −5,2 × 7 est un produit contenant quatre facteurs négatifs, donc ce produit est positif.

−2 × −5 × −4 × 3 est un produit contenant trois facteurs négatifs, donc ce produit est négatif.

Produit de plusieurs nombres relatifs

Propriété :  Pour multiplier deux nombres relatifs :

  • 1. On applique la règle des signes « répétée ».
  • 2. On multiplie les distances à zéro.

Exemple : (-5) × (-2) × 3 × (-7) =  – (5 × 2 × 3 × 7) = - 210.

Division de nombres relatifs

Le quotient de a par b, noté   a / b est le nombre relatif qui, multiplié par b, donne a.

Exemple :

(- 35) / 5  est le nombre qui, multiplié par 5, est égal à (- 35).

Or,  (-7) × 5 = - 35. On en déduit que (- 35) / 5 = - 7.

Règle des signes

Propriété:

Le QUOTIENT de deux nombres relatifs de même signe est positif.  Le QUOTIENT de deux nombres de signes contraires est négatif.

Pour diviser deux nombres relatifs :

  • On applique la règle des signes
  • On divise les distances à zéro.

Exercices

Exercice 1 : Divisions assistées

Pour calculer les quotients donnés, compléter en utilisant les expressions proposées : "de même signe" ; "de signes contraires" ; "positif" ; "négatif" ; "quotient".

a) Calcul de 12 / (-4) : Les deux nombres sont .............................. dont le quotient est ..................... . J'en déduit que : 12 / (-4) = -3.

b) Calcul de (-9) / (-18) : Les deux nombres sont ........................... donc le quotient est ...................... . J'en déduis que : (- 9) / (- 18) = 0,5.

c) Calcul de (-45) / 15 : Les deux nombres sont ............................ donc le quotient est ...................... .J'en déduis que : -45 / 15 = -34.

 

Exercice 2 : Divisions

Calculer sans poser les opérations :

12 / (-4) ; -36 / (-9) ;  -9 / 2 ; -14,6 / (-2) ; 0 / (-4) ; 9,3 / (-3)

 

Exercice 3 : Signes de quotients plus complexes

Détermine le signe des quotients donnés.

a) Calcul de (12 x (-2)) / ((-4) x (-8)) Le numérateur 12 x (-2) comporte.....facteur(s) négatif(s) donc il est ............ Le dénominateur -4 x (-8) comporte .... facteur(s) négatif(s) donc il est ...... Le numérateur et le dénominateur de ce quotient sont de signes .................. donc le quotient est ........................ .

b) Calcule de (1 x (-2) x 3) / (4 x (-7)) Le numérateur 1 x (-2) x 3 comporte ....... facteur(s) négatif(s) donc il est ................ . Le dénominateur 4 x (-7) comporte .......... facteur(s) négatif(s) donc il est ............... . Le numérateur et le dénominateur de ce quotient sont de .................. signes donc le quotient est ........................ .

c) Calcul de : - (-2,1) / (-12) x (-4,2) Le numérateur - (-2,1) comporte ....... facteur(s) négatif(s) donc il est ............... . Le dénominateur (-12) x (-4,2) comporte .......... facteur(s) négatif(s) donc il est ............... . Le numérateur et le dénominateur de ce quotient sont de .................. signes donc le quotient est ........................ .

Corrigés

Exercice 1 :

a) Calcul de 12 / (-4) : Les deux nombres sont 12 et -4 dont le quotient est -3 . J'en déduit que : 12 / (-4) = -3.

b) Calcul de (-9) / (-18) : Les deux nombres sont -9 et -18 donc le quotient est 1/2 . J'en déduis que : (- 9) / (- 18) = 0,5.

c) Calcul de (-45) / 15 : Les deux nombres sont -45 et 15 donc le quotient est -3 . J'en déduis que : -45 / 15 = -34.

Exercice 2 : 

12 / (-4)  = -3

-36 / (-9) = 4

-9 / 2 = -4,5

-14,6 / (-2) = 7,3

0 / (-4) = 0

9,3 / (-3) = -3,1

Exercice 3 :

a) Calcul de (12 x (-2)) / ((-4) x (-8)) Le numérateur 12 x (-2) comporte 1 facteur négatif donc il est négatif. Le dénominateur -4 x (-8) comporte 2 facteurs négatifs donc il est positif. Le numérateur et le dénominateur de ce quotient sont de signes opposés donc le quotient est négatif.

b) Calcule de (1 x (-2) x 3) / (4 x (-7)) Le numérateur 1 x (-2) x 3 comporte 1 facteur négatif donc il est négatif. Le dénominateur 4 x (-7) comporte 1 facteur négatif donc il est négatif . Le numérateur et le dénominateur de ce quotient sont de mêmes signes donc le quotient est positif.

c) Calcul de : - (-2,1) / ((-12) x (-4,2)) Le numérateur - (-2,1) comporte 2 facteurs négatifs donc il est positif. Le dénominateur (-12) x (-4,2) comporte 2 facteurs négatifs donc il est positif. Le numérateur et le dénominateur de ce quotient sont de mêmes signes donc le quotient est positif.

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Clément

Freelancer et pilote, j'espère atteindre la sagesse en partageant le savoir que j'ai acquis lors de mes voyages au volant de ma berline. Curieux scientifique, ma soif de découverte n'a d'égale que la durée de demie-vie du bismuth 209.