Multiplier un nombre par lui-même

  En cours de maths terminale s, l'écriture des nombres sous forme de puissances se prête à des règles de calcul simples. 1 Définitions Pour tout nombre a on définit les puissances de a para2 = a × a (1)a3 = a × a × a (2)etc. . . .et de façon générale, an = a × a × · · · × a (3)ici avec n entier  3. Dans cette dernière ligne, le nombre a figure n fois. Le symbole an représente donc le résultat de la multiplication de a par lui-même autant de fois qu'indiqué par n. On dit que an est la puissance n-ième de a, et n est appelé exposant de cette puissance. Cette définition admet pour extensions les importants cas particuliers suivants a1 = a et a0 = 1. (4)On est conduit à poser 1 les définitions suivantesa−1 =1 a (5) a−2 =1 a2 (6)etc. . . .1en cohérence avec les règles de calcul de la section suivante1et plus généralement a−n =1 an (7)où n est ici un nombre entier positif. Le symbole a−n désigne l'inverse de la puissance an, ce qui définit les puissances d'exposant négatif. On a donc l'égalité an × a−n = 1. (8)2 Règles de calcul Pour tous entiers n et p, pour tous nombres a et b, on a les propriétés suivantes, qui permettent les calculs sous forme de puissance. Propriété 1 Produit de puissances an × ap = an+p (9) Par exemple, on a 73 × 7−5 = 73+(−5) = 7−2. (10)Il suffit d'ajouter les exposants en respectant les règles de la somme des nombres relatifs. Propriété 2 Puissance de puissances anp= an×p (11) Par exemple, on a ????5−43= 5−4×3 = 5−12. (12)Il suffit de multiplier les exposants en respectant les règles du produit des nombres relatifs. Propriété 3 Quotient de puissances anap = an−p (13) Par exemple, on a 10−810−15 = 10−8−(−15) = 107. (14)2Il semble malgré tout préférable (dans un premier temps) de calculer ce genre de quotient en utilisant les importantes égalités 1 an = a−n et1 a−n = an et de cette façon on écrit plutôt 10−810−15 = 10−8 ×1 10−15 = 10−8 × 1015 = 107. (15)Ceci permet de n'utiliser que la règle du produit de puissances. Propriété 4 Produit de puissances de même exposant an × bn = (a × b)n (16)Par exemple, on a 23 × 53 = 103. (17)3 Cas particulier des puissances de 10 Lorsque a = 10, on obtient par exemple les résultats suivants· · · 104 103 102 101 100 10−1 10−2 10−3 · · ·· · · 10000 1000 100 10 1 0,1 0,01 0,001 · · ·et de façon générale, pour tout entier n positif, on a10n = 1 0 . . . 0 | {z } n zéros et 10−n = 0, . . . 0| {z } n z´eros1. (18)L'utilité de ces égalités réside dans les changements d'écriture de certains nombres décimaux. Par exemple, on a 180500000 = 1805 × 100000 = 1805 × 105 (19)On peut aussi continuer en écrivant 1805 = 1, 805 × 1000 = 1, 805 × 103.On en déduit finalement l'écriture scientifique du nombre initial 180500000 = 1, 805 × 103 × 105 = 1, 805 × 108 (20)3Dans le cas de nombres positifs moindres que 1, on a par exemple 0, 000000732 = 7, 32 × 0, 0000001 = 7, 32 × 10−7 (21)De façon générale, un nombre décimal D > 0 est écrit sous forme scientifique lorsqu'on a l'égalité D = d × 10k, avec 1  d < 10 (22)où k est un entier relatif et d est un nombre décimal.