Théorème des milieux et des parallèles

I. Le théorème des milieux :

1. Activité introductrice :

Construire un triangle ABC et noter I et J les milieux respectifs de [AB] et [AC].
Que peut-on dire des droites (IJ) et (BC) ?
Estimer le rapport IJ : BC.

2.Le théorème des milieux ( partie directe) :

Théorème (partie directe) :
 

Propriété :
 

Schématisation du théorème (partie directe) et de la propriété :
 

Preuve :

Hypothèses :


ABC est un triangle avec I milieu de [AB] et J milieu de [AC].
Soir K le symétrique de I par rapport à J.
 

Le quadrilatère AKCI est un parallélogramme car ses diagonales se coupent en leur milieu J.
On en déduit que (KC) // (IA) soit que (KC) // (BI)
et que KC = IA.
Mais comme I est le milieu de [AB] on a aussi KC = BI
Donc BIKC est un parallélogramme et comme J est le milieux de IK on a :

Conclusion :

• (IK) // (BC) soit (IJ) // (BC) (théorème)
• BC = JK = 2IJ (Propriété).


3. Le théorème des milieux ( partie réciproque ) :

Théorème des milieux (partie réciproque ) :
 

Schématisation du théorème des milieux ( partie réciproque ) :
 

Preuve :

Hypothèses :

ABC triangle, I milieu de [AB]. (D) parallèle à (BC) coupe [AC] en J.
On note J’ le symétrique de J par rapport à I.

Les droites (J’J) et (AB) ont même milieu I donc AJBJ’ est un parallélogramme et AJ = J’B.
On en déduit aussi que (J’B) // (AJ) donc que (J’B) // (JC).
Mais comme J et J’ appartiennent à (D) on à aussi (JJ’) // (BC) et donc le quadrilatère JCBJ’ est un parallélogramme
( car ses côtés opposés sont parallèle deux à deux ).
On a donc JC = J’B
Des deux égalités précédentes, on en déduit AJ = JC.

Conclusion :

J est le milieu de [AC].

Remarque :

Si les conditions de ce troisième théorème sont remplies, une fois que l’on a démontré la présence du deuxième milieu, les hypothèses du deuxième théorème des milieux sont vérifiées.
 

II. Le théorème des parallèles :

1. Activité introductrice :

Expérimentations où les élèves constatent l’égalité des rapports.

2. Le théorème des parallèles (admis).

Théorème :
 

Autrement dit :
 

Si dans un triangle ABC : • M appartient à [AB]; • N appartient à [AC]; •(MN) est parallèle à (BC). alors

Schématisation de la propriété de Thalès :