Chapitres
- 01. Introduction
- 02. Définition et propriétés
- 03. Construire et reconnaître un carré
- 04. Aire et périmètre
- 05. Exercices
Introduction
L'une des figures que nous connaissons tous est bien-sûr le carré. Ce quadrilatère parfait possède de multiples propriétés qui le rendent facilement reconnaissable. Étudions le dans ses moindres recoins !
Définition et propriétés
Par définition, un carré est un quadrilatère qui a ses quatre angles droits et ses quatre côtés de même longueur. Un quadrilatère est un polygone a quatre cotés, c'est à dire une figure plane fermée qui possède 4 cotés. Ainsi, le carré possède, comme tous quadrilatères, quatre sommets et quatre arêtes.
Le carré est un quadrilatère qui admet différentes propriétés, en plus de sa définition :
Les diagonales du carré sont perpendiculaires, de même longueur et se coupent en leur milieu. Dans un carré, les diagonales sont les bissectrices des angles du carré : elles séparent les angles en deux angles égaux et donc en deux angles de 45 degrés.
De plus, les côtés opposés du carré sont parallèles 2 à 2 et les côtés adjacents sont perpendiculaires.
Le carré a des propriétés communes avec d'autres quadrilatères. Il a toutes les propriétés du losange, du rectangle et du parallélogramme :
Un carré est un losange particulier : il a bien, par définition, ses quatre cotés de même longueur. C'est un losange dont les angles sont droits.
De même, le carré est un rectangle particulier : il a bien, par définition, quatre angles droit. C'est un rectangle dont les cotés sont tous de même longueur.
Enfin, un carré est un parallélogramme particulier : il a bien ses côtés opposés parallèles deux à deux. C'est un parallélogramme dont les angles sont droits et les côtés de même longueur.
Ainsi, si un quadrilatère est à la fois un rectangle et un losange c'est un carré.
Le carré est souvent considéré comme le quadrilatère parfait en raison de ses nombreux axes de symétrie : il a quatre axes de symétrie qui sont ses médiatrices et ses diagonales. Il admet également une symétrie centrale par rapport au point d'intersection des diagonales, le centre du carré.
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Construire et reconnaître un carré
Regardons comment construire un carré. On utilise pour cela une équerre et une règle graduée.
Supposons que le côté du carré mesure x cm. On commence par tracer un segment [AB] de mesure x cm. A l'aide de l'équerre, on trace un segment [AD] perpendiculaire au segment [AB], passant par A, et mesurant x cm. On fait ensuite de même en traçant un segment [DC] perpendiculaire à AD, passant par D et mesurant x cm. On termine en reliant les points C et B en vérifiant que l'on obtient bien un angle droit.
Par définition, si un quadrilatère a 4 angles droits et 4 côtés de même longueur alors c'est un carré. Cependant, il est suffisant de montrer que le quadrilatère a au moins 3 angles droits et 2 cotés consécutifs de même longueur.
Regardons les différentes propriétés qui permettent de définir si un quadrilatère est un carré :
Si un quadrilatère a trois angles droits (au moins) et des diagonales perpendiculaires alors c’est un carré.
Si un quadrilatère a ses diagonales perpendiculaires, de même longueur et qui se coupent en leur milieu alors c'est un carré.
On peut également déterminer si un quadrilatère est un carré à partir d'un rectangle, d'un losange ou d'un parallélogramme :
Si un parallélogramme a un angle droit et deux côtés consécutifs de même longueur alors c’est un carré.
Si un parallélogramme a un angle droit et ses diagonales perpendiculaires alors c’est un carré.
Si un parallélogramme a ses diagonales de même longueur et deux côtés consécutifs de même longueur alors c’est un carré.
Si un parallélogramme a ses diagonales de même longueur et perpendiculaires alors c’est un carré.
Si un rectangle a deux côtés consécutifs de même longueur alors c'est un carré.
Si un rectangle a ses diagonales perpendiculaires alors c'est un carré.
Si un losange a un angle droit alors c'est un carré.
Si un losange a ses diagonales de même longueur alors c'est un carré.
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Aire et périmètre
Le périmètre d'une figure est la longueur du contour de cette figure. Ainsi, le carré ayant tous ses côtés de même longueur, on obtient que le périmètre est égal à quatre fois la longueur du côté.
Soit c la longueur du côté du carré, 
On l'étudie souvent en cm ou m.
Le carré de côté 1 cm a ses diagonales qui mesurent 
C'est ainsi que nous avons tracé et défini le premier nombre irrationnel (que l'on ne peut pas écrire sous forme de fraction) : 
L'aire d'une figure est la surface délimitée par cette figure. Ainsi, pour le carré, on obtient que l'aire est égale au côté multiplié par le côté.
On la mesure souvent en m² ou cm².
Exercices
- Exercice 1 :
On considère un parallélogramme ABCD de centre E avec AB=5cm. Faire une figure.
On suppose que 
et 
Que remarque t on ? Combien vaut la longueur BC ?
ABCD est un parallélogramme dont les diagonales sont perpendiculaires. De plus, le parallélogramme possède un angle droit.
D'après le cours, si un parallélogramme a un angle droit et ses diagonales perpendiculaires alors c’est un carré. On remarque que ABCD est un carré. Ainsi, BC=5 cm car dans un carré, tous les côtés sont de même longueur.
- Exercice 2 :
Soit un losange FGHI de centre J. On suppose que FJ=JG. Que peut on en déduire sur le quadrilatère FGHI ?
On sait que les diagonales d'un losange se coupent en leur milieu. Ainsi, par définition, on a FJ=JH et GJ=JI. Or, on sait que FJ=JG. Donc FH=GI.
D'après le cours, si un losange a ses diagonales de même longueur alors c'est un carré. Donc le quadrilatère FGHI est un carré.
- Exercice 3 :
Déterminer le périmètre et l'aire des carrés dont les côtés mesurent 2 cm, 10 cm, 3 m et 1200mm.
Recensons les différents résultats dans un tableau :
| Périmètre | Aire | |
|---|---|---|
| c=2cm | 4x2=8cm | 2x2=4cm² |
| c=10cm | 4x10=40cm | 10x10=100cm² |
| c=3m | 4x3=12m | 3x3=9m² |
| c=1200mm =1,2m | 4x1,2=4,8m | 1,2x1,2=1,44m² |
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