Chapitres
- 01. Exercice
- 02. Correction
Exercice
On considère la suite (un) définie par récurrence par :
u0 = 1, u1 = 2, un+2 = 6 un+1 – 5 un
- Calculer u2, u3 et u4.
- Résoudre l'équation du second degré suivante x² = 6x – 5.
- Déterminer deux réels A et B tels que un = A x 5n + B
- En déduire u10.
Correction
- u2 = 6u1 – 5 u0 = 6 x 2 – 5 x 1 = 12 – 5 = 7
u3 = 6u2 – 5 u1 = 6 x 7 – 5 x 2 = 42 – 10 = 32
u4 = 6u3 – 5 u2 = 6 x 32 – 5 x 7 = 192 – 35 = 157
- x² = 6x – 5 est équivalente à x² – 6x + 5 = 0.
On calcule le discriminant b² – 4 ac = (-6)² – 4 x 1 x 5 = 36 – 20 = 16.
Le discriminant est positif, donc il y a deux solutions X et Y,
X= (6 + 4) / 2 = 5 et Y = (6 – 4) / 2 = 1
Cette équation a donc deux solutions 1 et 5.
- On veut que un = A x 5n + B vérifie u0 = 1, u1 = 2 et un+2 = 6 un+1 – 5 un.
Première condition : u0 = A x 50 + B = 1 donc A + B = 1, notée E
Deuxième condition : u1 = A x 51 + B = 2 donc 5A + B = 2, notée E'
En faisant E' – E, on trouve 4A = 1, d'où A = ¼,
En remplaçant A par ¼ dans E, on trouve B = ¾.
Vérifions alors que la troisième condition est remplie.
Calculons un+2, puis 6 un+1 – 5 un, et comparons.
un+2 = ¼ x 5n+2 + ¾
6 un+1 – 5 un = 6 x (¼ x 5n+1 + ¾) – 5x (¼ x 5n + ¾ )
= 6/4 x 5n+1 + 18/4 – 5/4 x 5n – 15/4
= 6/4 x 5n+1 + 3/4 – 1/4 x 5n+1
= (6/4 - ¼) x 5n+1 + ¾
= 5/4 x 5n+1 + ¾
= ¼ x 5n+2 + ¾
Donc un+2 = 6 un+1 – 5 un., et les trois conditions sont bien remplies.
- Donc u10 = ¼ x510 + ¾
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