Partie 1
1)
Dans le triangle ABC, comparons le carré du côté le plus long à la somme des carrés des deux autres côtés.
AB2 et AC2 + BC2
17.52 et 10.52 + 142
306.25 et 110.25 + 196
306.25 = 306.25
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en C.
2)
- On sait que : (RP) // (SC) et (RS)//(CP)
Un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles est un parallélogramme.
Donc PRSC est un parallélogramme.
- On sait que : Angle BAC = 90 ° donc par construction, Angle PCS = 90 °
Or un parallélogramme qui possède un angle droit est un rectangle.
Donc PRSC est un rectangle.
3) BP = 5 cm
a.
Soient (AR) et (CP) deux droites secantes en B tel que (PR) // (AC). D'après le théorème de Thalès, on a : BR/BA = BP/BC = PR/AC
BP/BC = PR/AC
PR = AC x BP/BC
PR = 10.5 x 5/14
PR = 3.75 cm
b.
P appartient à [BC] donc : BC = BP + PC
soit : PC = BC - BP = 14 - 5 = 9 cm
Soit A l'aire du rectangle PRSC :
A = PC x RP
A = 9 x 3.75
A = 33.75 cm2
Partie 2
1)
Longueur BP en cm | 0 | 1 | 3 | 5 | 8 | 10 | 12 | 14 |
Aire de PRSC en cm2 | 0 | 9.75 | 24.75 | 33.75 | 36 | 30 | 18 | 0 |
D'après la partie 1 :
- PR = AC x BP/BC
- PC = BC - BP
- A = PC x RP
A = ( BC - BP ) ( AC x BP/BC )
A = ( 14 - 10 ) ( 10.5 x 10/14)
A = 30 cm2
2)
Graphiquement :
a. BP = 2 cm ; BP = 12 cm
b. BP = 7 cm
c. 36 < A < 38
Partie 3
1)
P appartient à [BC] donc :
BC = BP + PC
PC = BC - BP
PC = 14 - BP
2) (On peut aussi utiliser le théorème de Thales comme dans la partie 1 question 3 a.)
- Dans le triangle BPR rectangle en P, on a :
tan (Angle RBP) = PR / BP
PR = BP x tan (Angle RBP)
PR = BP x tan (36.87 °)
PR = 0.75 x BP
3)
Si PR = PC alors PRSC est un carré.
PR = PC
0.75 x BP = 14 - BP
0.75 BP + BP = 14
1.75 BP = 14
BP = 14 / 1.75
BP = 8 cm
Si BP a pour mesure 8 cm alors PRSC est un carré.
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