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Introduction

Pour comparer des fractions, il faut déjà comprendre se que celles-ci représentent. Regardons plus précisément ce qu'est une fraction, cette alternative à la division qui nous permet de décrire tous les nombres rationnels.

Qu'est ce qu'une fraction ?

Qu'est ce qu'une fraction ?
Commençons par définir ce qu'est une fraction ainsi que ses propriétés comme les additions de fractions et les fractions irréductibles.

Une fraction est une division non effectuée entre deux nombres. Par exemple, lorsque l'on a 10 pommes et que l'on cherche comment partager en 4, on effectue la division de 10 par 4. Le résultat sera en faite la fraction [\frac{10}{4}] que l'on pourra simplifier en effectuant la division.

Le nombre au dessus de la barre de fraction, aussi appelé trait de fraction, ici le nombre 10, est appelé le numérateur. Le nombre en dessous de la barre de fraction, ici le chiffre 4, est appelé le dénominateur.

On peut finalement se demander, à quoi servent les fractions ? Lorsque l'on effectue certaines divisions, par exemple 1 divisé par 3, on observe que celle ci ne se termine jamais. On obtient 0,33333... En faite, ce nombre n'a pas d'écriture décimale, on ne peut pas l'écrire sous forme d'un nombre à virgule. On l'écrit alors sous forme d'une fraction : [\frac{1}{3}]

On appellera alors nombre rationnel tous nombre pouvant s'écrire sous forme d'une fraction, sous forme d'un ratio.

On lit de manière particulière les fractions par exemple. Par exemple, [\frac{1}{3}] ne se lit pas un divisé par 3 mais "un tiers". Regardons d'autres exemples :

[\frac{3}{2}] se lit "trois demis".

[\frac{10}{7}] se lit "dix septième".

Deux fractions sont équivalentes si l'on peut passer de l'une a l'autre en multipliant ou divisant le numérateur et le dénominateur par un même nombre.

Par exemple, [\frac{8}{4}=\frac{4}{2}=\frac{2}{1}]

On dit qu'une fraction est irréductible si on ne peut pas la simplifier, c'est à dire que le numérateur et le dénominateur sont premiers entre eux, n'ont pas de facteur commun.

Par exemple, [\frac{3}{6}] n'est pas irréductible, on peut la simplifier car 6 et 3 sont simplifiables par un même nombre : par 3. Donc on peut la mettre sous forme d'une fraction irréductible [\frac{3}{6}=\frac{1}{3}]

Pour additionner deux fractions, il faut qu'elles aient le même dénominateur. On a par exemple [\frac{13}{3}+\frac{2}{3}=\frac{15}{3}]

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Comment comparer des fractions ?

Comment ordonne-t-on des fractions ?
On peut maintenant étudier les fractions afin de les comparer, déterminer lesquelles sont plus grandes ou plus petites.

Il est facile de comparer deux nombres lorsque l'on connait leurs écritures décimales. Lorsqu'ils sont sous forme de fraction c'est parfois plus difficile.

La première solution est de poser la division afin de calculer la valeur décimale de la fraction ou une valeur approchée si la division n'admet pas de solution finie.

Par exemple, on veut comparer [\frac{12}{5}] et [\frac{14}{9}]

[\frac{12}{5}=12div5=2,4] et [\frac{14}{9}=14div9=1,55555...] On a donc facilement que [\frac{12}{5}>\frac{14}{9}]

Pour comparer des fractions, on peut par exemple placer sur une droite graduée leur valeur approchée :

Comment placer des fractions sur une droite graduée ?
On utilise souvent une droite graduée pour placer les fractions et bien se rendre compte laquelle est plus grande que l'autre.

Ensuite, lorsque des fractions ont le même dénominateur, la plus petite est celle qui a le plus petit numérateur.

On l'observe facilement avec un exemple, [\frac{12}{5}=2,4] et [{7}{5}=1,4]

On peut l'expliquer plus concrètement : nous sommes 5 et souhaitons partager les bonbons que nous avons. S'il y a 15 bonbons, nous en aurons chacun 3 alors que s'il y a 10 bonbons, nous en aurons seulement 2 chacun. D'où [\frac{15}{5}=3 > \frac{10}{5}=2]

De plus, lorsque des fractions ont le même numérateur, la plus petite est celle qui a le plus grand dénominateur. Par exemple, [\frac{5}{4} > \frac{5}{10}]

est vrai car [\frac{5}{4}=1,25] et [\frac{5}{10}=0,5]

On peut de nouveau prendre un exemple concret. Il y a 20 bonbons. Si nous les partageons en 2 nous aurons chacun 10 bonbons mais si nous partageons en 4, nous aurons seulement 5 bonbons chacun.

Ainsi, [\frac{20}{2}=10 > \frac{20}{4}=5]

Enfin, il est possible de décomposer une fraction c'est à dire l'écrire sous forme d'une somme d'un nombre entier et d'une fraction inférieure à 1.

Par exemple [\frac{12}{5}=2+\frac{2}{5}]

Cela permet d'avoir une idée approximative de la valeur. Dans notre cas, la fraction est donc comprise entre 2 et 3.

 

Exercices

Comment comparer des fractions ?
Effectuons différents exercices pour comprendre le cours et appliquer ce qu'on a appris.
  • Exercice 1 :

Ordonner les deux groupes de fractions suivants par ordre croissant.

Groupe 1 : [\frac{3}{4}]  [\frac{3}{2}]  [1]  [\frac{3}{16}]   [\frac{3}{8}] [\frac{3}{5}]

Groupe 2 : [\frac{1}{2}]  [\frac{6}{2}]  [\frac{5}{2}]  [\frac{10}{2}]  [1]

 

Pour le premier groupe, on applique la règle vue précédemment :
Lorsque des fractions ont le même numérateur, la plus petite est celle qui a le plus grand dénominateur.

Ici, on écrit 1 sous la forme [\frac{3}{3}]
On obtient donc :      [\frac{3}{16} < \frac{3}{8} < \frac{3}{5} < \frac{3}{4} < \frac{3}{3} < \frac{3}{2}]

Pour le deuxième groupe, on applique la règle suivante :
Quand des fractions ont le même dénominateur, la plus petite est celle qui a le plus petit numérateur.

Ici, on écrit 1 sous la forme [\frac{2}{2}]
Donc on a :      [\frac{1}{2} < \frac{2}{2} < \frac{5}{2} < \frac{6}{2} < \frac{10}{2}]

 

  • Exercice 2 :

Décomposer les fractions suivantes et les ordonner : [\frac{13}{3}] [\frac{12}{5}] et [\frac{15}{4}]

[\frac{13}{3}=\frac{12}{3}+\frac{1}{3}=4+\frac{1}{3}]

[\frac{12}{5}=\frac{10}{5}+\frac{2}{5}=2+\frac{2}{5}]

[\frac{15}{4}=\frac{12}{4}+\frac{3}{4}=3+\frac{3}{4}]

Donc on obtient dans l'ordre croissant : [\frac{12}{5}<\frac{15}{4}<\frac{13}{3}]

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Elise

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