Chapitres
Avant tout chose, il est indispensable de produire un schéma sur la copie pour chaque exercice afin de faciliter la compréhension du correcteur.
Exercice 1
Dans tout l’exercice, on travaillera dans un Référentiel terrestre dit galiléen et dans le système R.
Partie A
Commençons tout d’abord par un bilan des forces. Ici, M subit :
- [ overrightarrow { P } = m times overrightarrow { g } ] C’est-à-dire son poids qui correspond à une force conservative
- [ overrightarrow { R } ] C’est-à-dire la réaction perpendiculaire au support.
On peut alors définir le système S comme étant un système conservatif puisque la somme de l’énergie potentielle et de l’énergie cinétique donne une constante en sachant que [ E _ p = - m times g times x + K ] Ainsi, dans la partie AB du mouvement, on obtient [ x = R _ 1 times cos left( theta right) ] (origine de [ overrightarrow { ox } ] en C1). On obtient alors de façon triviale [ E _ c left( theta right) + E _ p left( theta right) = E _ c left( E right) + E _ p left( E right) = \frac { 1 }{ 2 } times m times v_0^2] Ainsi, puisque [ overrightarrow{ C _ 1 M } = R _ 1 overrightarrow{ u _ r } space text { et } overrightarrow { v } = R _ 1 times thetacdot times overrightarrow { u _ theta } ] donc [ \begin{cases} E _ c = \frac { 1 } { 2 } times m times R _ 1 ^2 times theta \cdot ^ 2 E _ p left( E right) = \frac { 1 } { 2 } times m times R _ 1 ^ 2 times theta \cdot _ 0 ^ 2 \end{cases} ] Ainsi [ \frac { 1 } { 2 } times m times R _ 1 ^ 2 times theta \cdot ^ 2 - m times g times R _ 1 times cos left( theta right) + K = \frac { 1 } { 2 } times m times R _ 1 ^ 2 times theta \cdot _ 0 ^ 2 - m times g times R _ 1 + K ] et [ theta \cdot ^ 2 = theta \cdot _ 0 ^ 2 + \frac { 2 g } { R _ 1 } times left( cos left( theta right) - 1 right) ] En dérivant la relation déduite ci-dessus par rapport à t, on obtient alors [ 2 times theta \cdot times theta \cdot cdot = \frac { 2 g } { R _ 1 } times left( - sin left( theta right) right) times theta \cdot ] c’est-à-dire [ theta \cdot cdot + \frac { g } { R _ 1 } times sin left( theta right) = 0 ]. On en déduit alors θ(t) [ theta left( t right ) = A times cos left( w _ 0 times t right) + B times sin left( w _ 0 times t right) space text { avec } w _ 0 = \sqrt \frac { g } { R _ 1 } ]. Or [ \begin{cases} theta left( 0 right) = 0 theta \cdot left( 0 right) = theta \cdot _0 \end{cases} ] d'où [ \begin{cases} 0 = A theta \cdot _0 = B times w _ 0 \end{cases} ] Donc [ theta left( t right) = \frac { theta \cdot _ 0 } { w _ 0 } times sin left( w _ o times t right) ] On va maintenant chercher à déterminer la valeur maximale de θ : [ theta _ text { max } = \frac { theta \cdot _ 0 } { w } ] en sachant que [ \begin{cases}w_0 = 100 space s ^ text { - 1 } T = \frac { 2 times pi } { w _ 0 } = 6,28 . 10 ^ text { - 2} s theta _ text { max } = 0,01 space rad \end{cases} ] et [ sin left( theta right) _ text { max } = 9,999 . 10 ^ text { - 3 } ] donc [ sin left( theta right) _ text { max } = theta _ text { max } ] Sans oublier d’arrondir à deux chiffres après la virgule.
Partie B
[ text { Soit } space E _ p left( theta right) = - m times g times x + K ] [ text { Pour } space - \frac { pi } { 2 } leq theta leq pi space text { on a } E _ p = - m times g times R _ 1 times cos left( theta right) + K ] [ text { Et } space E _ p left( pi right) = 0 space text { donc } E _ p left( theta right) = - m times R _ 1 times left( 1 + cos left( theta right) right) ] [ text { Pour } space pi leq theta leq 2 times pi space text { et } x = overline {C _ 1 H } + overline { C _ 1 C _ 2} + overline { C _ 2 H} = R _ 2 R _ 1 + R _ 2 cos left( theta right) ] [ text { on a } E _ p = - m times g times left( R _ 1 - R _ 2 + R _ 2 times cos left( theta right) right) - m times g times R _ 1 ] [ text { donc } E _ p left( theta right) = - m times g times R _ 2 times left( 1 + cos left( theta right) right) ] On a donc :
- Si θ = 0 et θ = 2π on retrouve les valeurs minimales de l’énergie potentielle. Cela correspond donc aux positions d’équilibre stables.
- Si θ = π on retrouve la valeur maximale de l’énergie potentielle. Cela correspond donc à une position d’équilibre instable.
[ text { Soit } space E _ c + E _ p = E _ m = \frac { 1 } { 2 } times m times v _ 0 ^ 2 - m times g times R _ 1 space text { avec } space E _ c left( A right) = \frac { 1 } { 2 } times m times v _ 0 ^ 2 space text { et } space E _ p left( A right) = - m times g times R _ 1 ] Ainsi, si M effectue un trajet complet du point A à F si, pour toute valeur de θ comprise entre -π/2 et 2π et pour une valeur de l’énergie cinétique positive. Cela signifie donc qu’il faut que le minimum de l’énergie cinétique soit supérieur à 0 pour toute valeur de θ comprise entre -π/2 et 2π et donc que la valeur minimale de la différence de l’énergie mécanique par l’énergie potentielle est positive. Ainsi, finalement, on retrouve comme conditions :
- [ E _ text { p max } leq E _ m ]
- [ 0 leq \frac { 1 } { 2 } times m times v _ 0 ^ 2 - m times g times R _ 1 ]
- [ v _ 0 geq \sqrt { 2 times g times R _ 1 } ]
On peut alors déterminer vF [ text { En effet } space \frac { 1 } { 2 } times m times v _ F ^ 2 - 2 times m times g times R _ 2 = \frac { 1 } { 2 } times m times v _ 0 ^ 2 - m times g times R _ 1 ] [ text { Donc } space v _ F = \sqrt { v _ 0 ^ 2 + 4 times g times R _ 2 - 2 times g times R _ 1 } ] Ainsi, pour toute valeur de θ comprise entre -π/2 et 5π/2 [ text { on a } space E _ p leq E _ p left( B right) ] [ text { d'ou } space E _ m - E _ p left( B right) leq E _ m - E _ p left( theta right) ] [ text { donc } space E _ c left( B right) leq E _ c left( theta right) ] Or, Ec (B) > 0 donc Ec (θ) > 0 sur tout le trajet de A vers S. Ainsi, on a donc M qui parcourt entièrement le trajet de A vers S et qui quittera la piste en S.
Exercice 2 : Jouons au Jokari !
[ text {Nous allons travailler dans un referentiel terrestre suppose galileen où } space left( o, overrightarrow { o x } , overrightarrow { o y } , overrightarrow { o z } right) space text {est lié à ce référentiel.}] Pour commencer, nous allons appliquer à la balle M, que nous assimilerons à un point matériel, le Principe Fondamental de la Dynamique (abrégé PFD). [ overrightarrow { P } + overrightarrow { T } = m times overrightarrow { a } ] [ text { Avec } space \begin{cases} overrightarrow { P } = m times overrightarrow { g } overrightarrow { T } = - k times overrightarrow {OM } space text { la tension du fil } \end{cases} ] [ text { Donc } space m times \frac { text{ d} ^ 2 space overrightarrow { O M } } { text { d } t ^2 } = - k times overrightarrow { O M } + m times overrightarrow { g } ] [ text { Et } space \frac { text{ d} ^ 2 space overrightarrow { O M } } { text { d } t ^2 } + \frac { k } { m } times overrightarrow { O M } = overrightarrow { g } ] Ainsi [ overrightarrow { O M } ] correspond donc à la somme de la solution générale de l’équation sans second membre [ text { Et } space \frac { text{ d} ^ 2 space overrightarrow { O M } } { text { d } t ^2 } + \frac { k } { m } times overrightarrow { O M } = 0 ] et d’une solution particulière, d’où [ \begin{cases} overrightarrow { O M } = overrightarrow { A } times cos left( w times t right) + overrightarrow { B } times sin left( w times t right) + \frac { m } { A } times overrightarrow { g } text { avec } space w = \sqrt { \frac { k } { m } } \end{cases} ]. [text { Nous allons ensuite determiner } space overrightarrow { A } text { et } overrightarrow { B } space text { grâce aux conditions initiales : } ] [ \begin{cases} overrightarrow { O M } left( 0 right) = overrightarrow { O M } _ 0 = hoverrightarrow { j } overrightarrow { v } left( 0 right) = overrightarrow { v } _ 0 = v _ 0 times cos left( alpha right) times overrightarrow { j } + v _ 0 times sin left( alpha right) times overrightarrow { i } \end{cases} ] [ text { d'ou } space \begin{cases} overrightarrow { O M } _ 0 = overrightarrow { A } + \frac { m } { k } times overrightarrow { g } overrightarrow { B } times w = overrightarrow { v } _ 0 \end{cases} ] [ text { et } space \begin{cases} overrightarrow { A } = overrightarrow { O M } _ 0 - \frac { m } { k } times overrightarrow { g } overrightarrow { B } = \frac { overrightarrow { v } _ 0 } { w } \end{cases} ] [ text { On obtient donc } space overrightarrow { O M } = left( overrightarrow { O M } _ 0 - \frac { m } { k } times overrightarrow { g } right) times cos left( w times t right) + \frac { overrightarrow { v } _ 0 } { w } times sin left( w times t right) + \frac { m } { k } times overrightarrow { g } ] En projetant sur les axes définis au début de l’exercice, on obtient [ \begin{cases} x left( t right) = \frac { v _ 0 times sin left( alpha right) } { w } times sin left( w times t right) y left( t right) = left( h + \frac { m times g } { k } right) times cos left( w times t right) + \frac { v _ 0 times cos left( alpha right) } { w } times sin left( w times t right) - \frac { m times g } { k } z left( t right) = 0 \end{cases} ] Nous allons maintenant procéder à la détermination de la nature de la trajectoire de la balle [ \begin{cases} sin left( w times t right) = \frac { w } { v _ 0 times sin left( alpha right) } times x cos left( w times t right) = \frac { 1 } {h + \frac { m times g } {k } } times left( y - \frac { v _ 0 times cos left( alpha right) } { w } times \frac { w } { v _ 0 times sin left( alpha right) } times x + \frac { m times g } { k } right) \end{cases} ] [ text { Donc } space cos ^ 2 left( w times t right) + sin ^ 2 left( w times t right) = 1 ] [ text { D'ou } space left( \frac { w } { v _ 0 times sin left( alpha right) } right) ^ 2 times x ^ 2 + \frac { 1 } { left( h + \frac { m times g } { k } right) ^2 } times left( y - cos left( tan left( alpha right) right) times x + \frac { m times g } { k } right) ^ 2 = 1] [ text { On peut alors declarer que la trajectoire correspond à une ellipse contenue dans le plan xoy de centre } space C left( 0 , \frac { - m times g } { k } , 0 right) ] [ text { Nous allons maintenant calculer α et v0 pour } space t = \frac { T } { 4 } = \frac { 2 times pi } { 4 times w } space text { et } space w t = \frac { pi } { 2 } ] [ text { On obtient } space x = \frac { v _ 0 times sin left( alpha right) } { w } space text { et } space y = \frac { v _ 0 times cos left( alpha right) } { w } - \frac { m times g } { k } ] [ text { Il faut donc } space \begin{cases} d = \frac { v _ 0 sin left( alpha right) } {w } \frac { m times g } { k } = \frac { v _ 0 times cos left( alpha right) } { w } space text { soit } space v _ 0 times cos left( alpha right) = \frac { g } { w } \end{cases} ] [ text { On peut ainsi en deduire } space \begin{cases} v _ 0 = \sqrt { left( d times w right) ^ 2 + left( \frac { g } { w } right) ^ 2 } tan left( alpha right) = \frac { d } { g } times w ^ 2 space text { avec } space cos left( alpha right) geq 0 \end{cases} ]
Application Numérique
[ \begin{cases} v _ 0 = 14,1 space m . s ^ text { - 1 } alpha = \frac { pi } { 4 } \end{cases} ] [ text { Si } space \begin{cases} v _ 0 ^ 2 = w ^ 2 times d ^ 2 + \frac { g ^ 2 } { w ^ 2 } w ^ 2 = \frac { k } { m } \end{cases} ] Nous allons maintenant chercher à déterminer les valeurs de w² permettant d’obtenir les valeurs minimales de v0² et donc de v0 [frac { text { d } v _ 0 ^ 2 } { text { d } w ^ 2} = d ^ 2 - \frac { g ^ 2 } { w ^ 4}] [ text { Donc } space \frac { text { d } v _ 0 ^ 2 } { text { d } w ^ 2} = 0 space text { pour } space w ^ 2 = \frac { g } { d } ] [text { Ainsi, la valeur de } space v _ 0 ^ 2 space text { atteint sa valeur minimale pour } space w = \sqrt { \frac { g } { d } } ] On dit que c’est un minimum car, la limite de v0 tend vers l'infini positif quand w tend vers 0 Finalement, il faut choisir [ m = \frac { k times d } { g } ] Ainsi, on retrouve les mêmes valeurs que dans les calculs précédents [ text { C'est-a-dire } space \begin{cases} m = 0,1 space text { kg } v _ 0 = 14,1 space text { m.s } ^ text { - 1 } alpha = 45 space text { degrés } \end{cases} ]
Si vous désirez une aide personnalisée, contactez dès maintenant l’un de nos professeurs !
merci beaucoup mais on vient de commencé le chapitre « etude energetique du mouvement d’un point matériel ds un reférentiel galileen » et on c arreté a stabilité des équilibre j’ai dc pa la ormule de conservation de l’énergi du systeme ni celle de la période, c pa grave si je les sort comme sa ds mon DM?
Ec(téta)+Ep(téta)=Ec(e)+Ep(e): cette relation traduit la conservation de l’énergie du système. Regarde dans ton cours, tu trouveras cette relation. Ici elle est vérifiée car il n’y a pas de frottement et le poids est une force conservative.
Pour la résolution de l’équation (A2), l’angle téta étant faible on peut l’assimiler à téta : on trouve l’équation différentielle classique d’un oscillateur harmonique. Tu peux détailler la solution en écrivant l’équation caractéristique associée.
T=2pi/wo est une expression à connaitre qui vient du fait que si wt varie de 2pi, t varie de 2pi/w.
téta max est obtenu quand le sin est max donc égal à 1
bonjour j’ai cet exercice a faire comme Dm pour la rentré et il y a certaine choses que je ne comprend pas
dans la question A-1 je comprend pas pourquoi Ec(téta)+Ep(téta)=Ec(e)+Ep(e)
et aussi je ne compren pa la fin de la resolution de l’équation diff A-2,
et dans la A-3 comment vous savez ke T=2pi/wo? et commen vous savez l’expression de téta max?
en gros j’ai bcp de mal avec la mécanique je narrive pas a repondre au kestion