Chapitres
Quelques notions indispensables
- Développement à l'ordre n d'une fonction réelle d'une seule variable réelle
- Différentielle d'une fonction réelle d'une seule variable réelle : définition, calcul de "petites variations", propriétés
- Fonction réelle de plusieurs variables réelles : définition, dérivée partielle, différentielle totale, calcul de "petites variations".
- Incertitudes : définitions, calcul utilisant la différentielle totale, formules utiles : incertitude absolue sur une somme et une différence, incertitude relative sur un produit ou un quotient, incertitude relative sur une grandeur physique du type x=anbm.
- Équations différentielles linéaires à coefficients constants d'ordre 1 ou 2.
Optique géométrique
- Hypothèses de l'optique géométrique dont les lois de Descartes de la réflexion et de la réfraction.
- Définitions diverses : stigmatisme, objet, image, caractère réel ou virtuel, aplanétisme, système centré, foyers, approximation de Gauss.
- Miroir plan : stigmatisme, position de l'image, caractère afocal.
- Dioptre plan : réfraction limite, formule de conjugaison dans les conditions de Gauss, caractère afocal.
- Miroir sphérique et lentille mince : constructions et formules de conjugaison et de grandissement avec origine aux différents points caractéristiques dans l'approximation de Gauss.
- Notions sur le prisme, l'oeil, la projection d'une image, la loupe, l'aucollimation et la lunette astronomique.
La propagation d'une onde
Une onde se propage dans un milieu qui le lui permet car la propagation résulte de la mise en mouvement d’une particule dans le temps mais aussi dans l’espace par rapport au milieu. Cela est possible uniquement si la source est dans un état vibratoire. On peut caractériser la propagation d’une onde par sa vitesse de propagation à l’aide la formule suivante :
Avec :
- c la célérité de l’onde ;
- λ la longueur d’onde ;
- f la fréquence de l’onde.
Remarque : La vitesse de la lumière est de 300 000 km.s-1 et la célérité d’une onde sonore est de 344 m.s-1
La fréquence d'une onde ne dépend que de la fréquence de la source mais ne dépend pas de la fréquence de l'onde. La célérité d'une onde v dépend du milieu de propagation.
- Elle est toujours inférieure à celle de cette onde dans le vide c . v < c .
- n est toujours inférieur à 1 . n < 1
Dans le vide, la célérité de la lumière est c = 299 792 458 m.s-1 (on retiendra c = 3.108 m.s-1). La célérité de la lumière dans le vide ne dépend pas de la fréquence de l'onde. La célérité de la lumière dans l'air est pratiquement égale à sa célérité dans le vide.
La lumière et ses réactions
La diffraction de la lumière
C'est un phénomène qui est propre aux ondes qui se manifestent lorsqu'une onde rencontre un obstacle ou une ouverture de faible dimension.
La modification de la forme d'onde on obtient des ondes circulaires. L'onde se propage derrière l'obstacle, il n'y a pas de zone d'ombre.
Le phénomène de diffraction se manifeste lorsqu'une onde rencontre une ouverture, obstacle, dont les dimensions sont du même ordre de sa longueur d'onde. Ce phénomène est d'autant plus marqué que a est petit.
Dispersion des ondes
Un milieu est dispersif pour les ondes si la vitesse de propagation de l'onde dans le milieu dépend de sa fréquence de dispersion.
Remarque : L'air n'est pas un milieu dispersif pour les ondes sonores car les sons graves et aigus (leur fréquence) s'y propagent à la même vitesse.
Remarque : L'eau est un milieu dispersif pour les ondes à la surface de l'eau.
La réfraction
L'indice d'un milieu
Un milieu transparent est caractérisé par son indice de réfraction. L'indice de réfraction d'un milieu transparent correspond au rapport entre la célérité d'une onde se propageant dans le vide et sa célérité dans le milieu considéré. 
Avec
- n correspondant à l'indice de réfraction du milieu transparent et qui est une grandeur sans unité ;
- c correspondant à la célérité de l'onde dans le vide. La célérité est égale à 3.108 m.s-1 ;
- Et v correspondant à la célérité de l'onde dans le milieu transparent qui s'exprime en m.s-1.
Un milieu est dit dispersif si la célérité d'une onde lumineuse monochromatique qui se propage dans ce milieu dépend de sa fréquence (donc de sa longueur d'onde dans le vide). L'indice de réfraction d'un milieu dispersif dépend donc de la fréquence de l'onde qui s'y propage.
La loi de Descartes
Définition : La réfraction de la lumière correspond au changement de direction du rayon lumineux lorsque celui-ci traverse une surface séparant deux milieux d'indices de réfraction différents.
En effet, la loi de Snell-Descartes de la réfraction exprime le changement de direction d'un faisceau lumineux lors de la traversée d'une paroi qui sépare deux milieux différents. Il faut d'abord savoir que chaque milieu est caractérisé par sa capacité à « ralentir » la lumière. On modélise cette caractéristique par son indice de réfraction n qui s'exprime sous la forme : Où v est la vitesse de la lumière dans ce milieu et c est la vitesse de la lumière dans le vide (souvent arrondie à 3.108 m.s-1 Il est important de savoir que :
- Le rayon lumineux est dit incident avant d'avoir rencontré la surface réfractante (appelée dioptre), il est dit réfracté après avoir rencontré cette dernière.
- Le point de rencontre du rayon incident et du dioptre est appelé point d'incidence.
- Le plan contenant le rayon incident et la normale au dioptre, au point d'incidence est dit plan d'incidence.
- L'angle orienté i1 pris entre la normale au point d'incidence et le rayon incident est dit angle d'incidence.
- L'angle orienté i2 pris entre la normale au point d'incidence et le rayon réfracté est dit angle de réfraction.
- Les angles i1 et i2 sont positifs s’ils sont orientés dans le sens trigonométrique (sens inverse des aiguilles d'une montre), négatifs sinon.
On prend n1 l'indice de réfraction du milieu dans lequel se propage le rayon incident et n2 celui du milieu dans lequel se propage le rayon réfracté. Pour pouvoir énoncer la loi de la réfraction, il faut que le rayon réfracté, le rayon incident et la normale (au dioptre) soient dans un même plan qui est appelé le plan d'incidence et que le rayon incident et le rayon réfracté soient situés de part et d'autre de la normale. Lorsque n1 > n2 (et respectivement n1 < n2) le rayon réfracté (et respectivement : incident) se rapproche plus rapidement du dioptre que le rayon incident (ou réfracté). Cependant, il existe un cas particulier où le rayon réfracté (ou incident) se retrouve mathématiquement sur le dioptre (sa limite) : il y a alors réflexion totale.
Un cas concret : la réfraction atmosphérique
La réfraction atmosphérique correspond à un phénomène optique consistant en une trajectoire non rectiligne de la lumière lorsque celle-ci traverse l'atmosphère. Cela est principalement dû à une variation de la densité de l'air avec l'altitude.
L’atmosphère correspond à la couche de gaz qui entoure la Terre. Cette dernière joue un rôle de protection en nous protégeant de ce qui se trouve au-delà, dans l’espace, comme les rayons du soleil ou les corps étrangers. L’air que contient l’atmosphère est constitué à 78 % de diazote, de 21 % de dioxygène et le dernier pourcent représente une multitude d’autres gaz tels que le méthane, l’ozone, le dioxyde de carbone, l’argon, néon, krypton, xénon, etc.
Ainsi, pour tous les objets dits immergés dans l'atmosphère, le phénomène se renomme réfraction terrestre. Ce sont d'ailleurs ces réfractions terrestres qui conduisent aux mirages mais aussi aux effets de miroitement et d'ondulation en ce qui concerne les objets lointains. De ce fait, en astronomie d'observation, la réfraction atmosphérique peut provoquer des erreurs en ce qui concerne l'évaluation de la position angulaire réelle de l'astre qui est observé. En effet, cet astre sera observé plus haut dans le ciel qu'il ne l'est dans sa position réelle. C'est pour cela qu'il est nécessaire, voire obligatoire, d'observer une correction de hauteur, également appelé de réfraction atmosphérique. Cependant, il faut savoir que ce phénomène ne se contente pas d'affecter les rayons lumineux mais, de façon plus générale, il impacte toutes les ondes électromagnétiques. De fait de sa relation avec la longueur d'onde, on appelle cela le phénomène de dispersion, la lumière bleue sera plus fortement affectée par le phénomène que le serait la lumière rouge. C'est donc pour cela que, à cause de leur spectre, certain objets astronomiques peuvent voir les images en haute résolution s'étaler. Notons que la lumière verte peut, en partie, être interprété par la réfraction atmosphérique mais aussi par la dispersion. Un autre phénomène bien connu, l'observation du Soleil sous forme oblongue -donc légèrement aplati- lorsqu'il est à l'horizon, est un autre phénomène provoqué par la réfraction atmosphérique. Ce phénomène est d'ailleurs également observable pour la Lune. Notons cependant que la réfraction atmosphérique est beaucoup plus importante pour tout objet proche de l'horizon par rapport aux objets qui seront plus près du zénith. C'est pour cela que les astronomes, dans le but de limiter les effets de la réfraction atmosphérique, préfèrent l'observations des objets lorsqu'ils se situent à leur point culminant de leur trajectoire dans le ciel. Mais c'est également pour cela que les marins, afin de se guider, ne visent pas les étoiles proches de l'horizon mais plutôt celles qui se trouvent au moins à 20° au-dessus de cet horizon. Malgré tout, s'il n'est pas possible d'éviter les observations proches de l'horizon, il est tout à fait possible, sur certains instruments d'optique, de compenser les décalages observés à cause de la réfraction atmosphérique mais également ceux à cause de la dispersion. Il faut tout de même savoir que la réfraction atmosphérique dépend également de la pression atmosphérique et également de la température. C'est pour cela que les instruments permettant de corriger les effets précédemment cités causés par la réfraction atmosphérique et la dispersion se doivent d'être technologiquement complexe. De ce fait, leur coût élevé minimise leur expansion. Le problème est encore plus ancré dans le cas où la réfraction atmosphérique est non-homogène, principalement à cause de la présence de turbulences dans l'air. Ce sont ces mêmes turbulences qui provoquent d'ailleurs le phénomène de scintillation des étoiles.
Vitesse de réactions chimiques
- Description d'un système chimique : paramètres d'état, caractère intensif ou extensif, phase, pour un système monophasé homogène : concentration molaire, fraction molaire, pression partielle avec la loi de Dalton pour un MIGP.
- Coefficients stoechiométriques algébriques, avancement de réaction
- Vitesse moyenne (volumique) de formation ou de disparition d'un constituant, vitesse instantanée de formation et de disparition, vitesse de réaction.
- Influence de la concentration sur la vitesse de réaction : réaction avec ordre, cas des réactions d'ordre 1 ou 2 par rapport à un seul réactif et d'ordres 1 par rapport à 2 réactifs.
Avancement d'une réaction
Considérons la réaction chimique dont l'équation est : aA + bB cC + dD où A et B sont les réactifs, C et D les produits et a, b, c et d sont les nombres stœchiométriques. Les notations utilisées dans la suite sont résumées ci-dessous :
- x : avancement de la réaction ;
- n(A)0 : quantité de matière initiale de A ;
- n(A) : quantité de matière de A à la date t ;
- n(A)f : quantité de matière finale de A.
L'avancement final est un avancement qui est réellement observé, atteint. Mais l'avancement maximal correspond également à l'avancement atteint lorsqu'un réactif est entièrement consommé (avancement théorique observable). En reprenant l'exemple précédent, x est appelé avancement de la réaction à la date t. Ce nombre permet de suivre l'évolution de la transformation et donc de caractériser le système à un moment donné. L'avancement maximal xmax s'obtient en écrivant que les quantités de matières des réactifs sont toujours positives ou nulles. Nous supposerons, cette année qu'une réaction s'arrête lorsqu'un des réactifs a été totalement consommé. Ce réactif est appelé réactif limitant. Il est tel que sa quantité de matière est nulle (il n'en reste plus) lorsque x = xmax, c'est-à-dire lorsque l'avancement est maximal. Dans certains cas tous les réactifs sont totalement consommés. On dit alors qu'ils ont été introduits dans les proportions stœchiométriques.
Taux d'avancement τ
- Si τ ≤ 1 => si τ = 1 xf = xmax alors on est en présence d'une réaction totale
- τ < 1 , xf ≠ xmax alors on est en présence d'une réaction partielle qui s'arrête lorsqu'elle atteint l'équilibre chimique.
Calculer l'avancement d'une réaction grâce à la concentration molaire volumique
Si on ne prend en compte que le cas particulier d'une réaction ayant lieu en solution aqueuse telle que le volume V de la solution soit constant, alors on peut utiliser l'expression suivante : 
Avec :
- [X] représentant la concentration molaire (en mol.L-1) ;
- n(X) représentant la quantité de matière de l'espèce X en solution (en mol) ;
- V représentant le volume de la solution (en L).
D'après ce qui précède, en divisant tous les termes de la relation de définition de l'avancement par V : 
La vitesse volumique de réaction
Et la vitesse de cette transformation dépend de beaucoup de choses.
Définition
On peut définir la vitesse volumique de réaction avec l'aide de l'expression suivante : 
Avec :
- v représentant la vitesse volumique de réaction (en mol.m-3.s-1) ;
- V représentant le volume de la solution (en m3) ;
- dx représentant la variation de l'avancement (en mol) ;
- dt représentant la durée de la variation (en s).
Remarques :
- Il arrive fréquemment que le volume V soit exprimé en litre. La vitesse de réaction est alors exprimée en mol.L-1.s-1 ;
- Si la transformation est lente ou très lente la durée peut être exprimée en minute ou en heure. La vitesse de réaction est alors exprimée en mol.L-1.min-1 ou en mol.L-1.h-1 ;
- Le rapport dx/dt représente la dérivée par rapport au temps de l'avancement.
Bilan de matière
Rappelons que les quantités de matières peuvent être déterminées à partir des masses ou des volumes (plus particulièrement pour les gaz) en utilisant les relations suivantes déjà rencontrées : 
et 
.
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