Chapitres
Décollage de la fusée Ariane 5
La propulsion de la fusée Ariane 5 est assurée par :
- Un étage principal cryotechnique (EPC) constitué du moteur Vulcain, de puissance transmise à la fusée de l’ordre de 10 MW en moyenne au cours des deux premières secondes du décollage ;
- Deux boosters (étages d’accélération à poudre EAP) qui contribuent à environ 90 % de la puissance totale transmise à la fusée au début du décollage.
Le but de cet exercice est de vérifier certaines des caractéristiques de la fusée Ariane 5 à partir d’une chronophotographie de son décollage.
Données :
- Intensité de la pesanteur : g = 9,8 m·s-2 ;
- Débit massique d’éjection de gaz du moteur Vulcain : 270 kg·s-1 ;
- Débit massique d’éjection de gaz de chaque booster : 1,8 × 103 kg·s-1 ;
- Caractéristiques des différentes fusées Ariane :
| Fusée | Ariane 1 | Ariane 2 | Ariane 3 | Ariane 4 | Ariane 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Masse au décollage (en tonne) | 210 | 219 | 234 | 243 à 480 | 750 à 780 |
| Poussée * (en kN) | 2500 | 2700 | 2700 | 2700 à 5400 | 12000 à 13000 |
| Hauteur de la fusée (en m) | 47 | 49 | 49 | 59 | 52 |
* La poussée, qui s’exprime en kilonewton (kN), est une action qui s’exerce sur la fusée. C’est l’action de réaction des gaz éjectés au cours de la combustion du carburant. Au décollage, cette action est modélisée par une force verticale et orientée vers le haut.
Pour faciliter les mesures, les différentes images de la fusée ont été décalées horizontalement les unes par rapport aux autres.
L’étude de cette chronophotographie donne les résultats suivants. L’axe vertical a pour origine la base de la fusée.
Figure 3. Détermination expérimentale de la position et de la vitesse de la fusée :
| Image | t (s) | v (m) | Vy (m.s-1 |
|---|---|---|---|
| 1 | 0,20 | y1 = 30,1 | |
| 2 | 0,60 | 31,5 | v2 |
| 3 | 1,00 | 33,3 | 6,8 |
| 4 | 1,40 | 36,9 | 9,6 |
| 5 | 1,80 | y5 | 12 |
| 6 | 2,20 | 46,5 | 15 |
| 7 | 2,60 | 52,9 |
L’image 1 de la figure 2 précise l’endroit de la fusée qui sert à repérer son mouvement vertical. Son ordonnée sur l’axe des y est notée y1.
1. Estimation de la poussée
1.1. Calculer la masse des gaz éjectés pendant la durée de l’étude, soit 2,40 s. La comparer à la masse au décollage de la fusée. Commenter.
On considère dans la suite de l’exercice que la masse totale de la fusée est constante pendant la durée de l’étude.
1.2. Estimer, à l’aide de la figure 2, la valeur de y5. Détailler la démarche.
1.3. On donne en figure 4 le graphe représentant l’évolution de la vitesse de la fusée au cours du temps.
1.3.1. Estimer, à l’aide du tableau de la figure 3, la valeur de v2. Détailler la démarche et vérifier que ce résultat est cohérent avec le graphe de la figure 4.
1.3.2. Montrer que la valeur de l’accélération de la fusée pendant la durée de l’étude est proche de 7 m·s-2.
1.3.3. Préciser, en justifiant, la direction et le sens du vecteur accélération de la fusée.
1.4. Choisir parmi les propositions de la figure 5, le schéma compatible avec le décollage de la fusée.
Justifier.
1.3.1. Estimer, à l’aide du tableau de la figure 3, la valeur de v2. Détailler la démarche et vérifier que ce résultat est cohérent avec le graphe de la figure 4.
1.3.2. Montrer que la valeur de l’accélération de la fusée pendant la durée de l’étude est proche de 7 m·s-2.
1.3.3. Préciser, en justifiant, la direction et le sens du vecteur accélération de la fusée.
1.4. Choisir parmi les propositions de la figure 5, le schéma compatible avec le décollage de la fusée.
Justifier.
Mise en orbite d'un satellite artificiel par la fusée Ariane
Le premier lanceur Ariane est une fusée à trois étages dont la hauteur totale est de 47,4 m et qui pèse, avec sa charge utile (satellite), 208 tonnes au décollage.
Le premier étage qui fonctionne pendant 145 secondes est équipé de 4 moteurs Viking V alimentés par du peroxyde d'azote N2O4 (masse de peroxyde emportée : 147,5 tonnes).
L'intensité de la force de poussée totale de ces 4 réacteurs est constante pendant leur fonctionnement : elle vaut F = 2445 kN.
Ce lanceur peut mettre en orbite circulaire basse de 200 km d'altitude un satellite de 4850 kg ; il peut également placer sur une orbite géostationnaire un satellite de 965 kg ; il peut aussi être utilisé pour placer en orbite héliosynchrone des satellites très utiles pour des applications météorologiques.
1) L'ascension de la fusée Ariane
Le champ de pesanteur est supposé uniforme : son intensité est g0 = 9,8 m.s –2.
On choisit un axe Oz vertical dirigé vers le haut.
On étudie le mouvement de la fusée dans le référentiel terrestre qu'on suppose galiléen.
a) Représenter clairement, sur un schéma, en les nommant, les deux forces qui agissent sur la fusée Ariane lorsqu'elle s'élève verticalement. On néglige les frottements et la poussée d'Archimède dans l'air.
b) A un instant quelconque, la masse de la fusée est m.
Déterminer en fonction de m et des intensités des 2 forces précédentes la valeur de l’accélération a.
c) On considère d'abord la situation au décollage. La masse de la fusée vaut alors m1. Calculer la valeur numérique de l’accélération a1 à cet instant.
On envisage la situation qui est celle immédiatement avant que tout le peroxyde d'azote ne
soit consommé. La masse de la fusée vaut alors m2. Calculer la valeur numérique de m2 puis celle de l'accélération a2 à cet instant.
Le mouvement d'ascension de la fusée est-il uniformément accéléré ?
d) La vitesse d'éjection Ve des gaz issus de la combustion du peroxyde d'azote est donnée par la relation :
Vérifier l'unité de Ve par analyse dimensionnelle. Calculer la valeur numérique de Ve.
A l'aide d'une loi connue qu'on énoncera, expliquer pourquoi l'éjection des gaz propulse la fusée vers le haut.
2) Étude du satellite artificiel situé à basse altitude (h = 200 km)
On s'intéresse au mouvement d'un satellite artificiel S, de masse ms, en orbite circulaire (rayon r)
autour de la Terre de masse MT, de rayon RT et de centre O.
On suppose que la Terre est une sphère et qu'elle présente une répartition de masse à symétrie
sphérique et que le satellite peut être assimilé à un point.
a) Préciser les caractéristiques du vecteur accélération d'un point animé d'un mouvement circulaire uniforme de rayon r et de vitesse v.
b) Enoncer la loi de la gravitation universelle. On appelle G la constante de gravitation universelle.
Faire un schéma sur lequel les vecteurs-forces sont représentés.
c) Appliquer la deuxième loi de NEWTON au satellite en orbite circulaire.
En déduire l'expression de la vitesse vs du satellite en fonction de g0 , RT et h puis celle de sa période de révolution Ts.
c) Application numérique.
Calculer vs et Ts sachant que g0 = 9,8 m.s -2 ; h = 200 km et RT = 6400 km.
Lancement de la station spatiale internationale
La station spatiale internationale ISS (International Space Station) est à ce jour le plus grand des objets artificiels placé en orbite terrestre à une altitude de 400 km.
Elle est occupée en permanence par un équipage international qui se consacre à la recherche scientifique dans l’environnement spatial. Jusqu’à présent, trois vaisseaux cargos ATV ont permis de ravitailler la station ISS.
Partie A : Étude du mouvement de la station spatiale ISS
La station spatiale internationale, supposée ponctuelle et notée S, évolue sur une orbite qu’on admettra circulaire, dont le plan est incliné de 51,6° par rapport au plan de l’équateur. Son altitude est environ égale à 400 km.
Données :
- Rayon de la Terre : R = 6380 km ;
- Masse de la station : m = 435 tonnes ;
- Masse de la Terre, supposée ponctuelle : M = 5,98 ×1024 kg ;
- Constante de gravitation universelle : G = 6,67×10-11m3.kg–1.s–2 ;
- Altitude de la station ISS : h ;
- Expression de la valeur de la force d’interaction gravitationnelle F entre deux corps A et B ponctuels de masses respectives mA et mB, distants de d = AB :
1. Représenter sur un schéma :
- La Terre et la station S, supposée ponctuelle ;
- Un vecteur unitaire u orienté de la station S vers la Terre (T) ;
- La force d’interaction gravitationnelle exercée par la Terre sur la station S.
Donner l’expression vectorielle de cette force en fonction du vecteur unitaire u.
2. En considérant la seule action de la Terre, établir l’expression vectorielle de l’accélération de la station dans le référentiel géocentrique, supposé galiléen, en fonction de G, M, h, R et du vecteur unitaire u.
3. Vitesse du satellite.
3.1. Montrer que, dans le cas d’un mouvement circulaire, la valeur de la vitesse du satellite de la station a pour expression :
Partie B : Ravitaillement de la station ISS
Le 23 mars 2012, un lanceur Ariane 5 a décollé du port spatial de l’Europe à Kourou (Guyane), emportant à son bord le véhicule de transfert automatique (ATV) qui permet de ravitailler la station spatiale internationale (ISS).
Au moment du décollage, la masse de la fusée est égale à 7,8×102 tonnes, dont environ 3,5 tonnes de cargaison : ergols, oxygène, air, eau potable, équipements scientifiques, vivres et vêtements pour l’équipage à bord de l’ATV.
On se propose dans cette partie d’étudier le décollage de la fusée.
Pour ce faire, on se place dans le référentiel terrestre supposé galiléen.
À la date t = 0 s, le système est immobile.
À t = 1 s, la fusée a éjecté une masse de gaz notée mg, à la vitesse vg. Sa masse est alors notée mf et sa vitesse vf.
Données :
- Intensité de la pesanteur à Kourou : g = 9,78 N.kg-1 ;
- Débit d’éjection des gaz au décollage : D = 2,9×103s-1 ;
- Vitesse d’éjection des gaz au décollage : vg= 4,0 km.s–1.
1. Modèle simplifié du décollage
Dans ce modèle simplifié, on suppose que le système {fusée + gaz} est isolé.
1.1. En comparant la quantité de mouvement du système considéré aux dates t = 0 s et
t = 1 s, montrer que :
Quelle est la conséquence de l’éjection de ces gaz sur le mouvement de la fusée ?
1.2. Après avoir montré numériquement que la variation de la masse de la fusée est négligeable au bout d’une seconde après le décollage, calculer la valeur de la vitesse de la fusée à cet instant.
2. Étude plus réaliste du décollage
2.1. En réalité la vitesse vf est très inférieure à celle calculée à la question 1.2.. En supposant que le système {fusée + gaz} est isolé, quelle force n’aurait-on pas dû négliger ?
Lancement d'un satellite météorologique
Le centre spatial de Kourou a lancé le 21 décembre 2005, avec une fusée Ariane 5, un satellite de météorologie de seconde génération baptisé MSG-2. Tout comme ses prédécesseurs, il est placé sur une orbite géostationnaire à 36000 km d'altitude. Opérationnel depuis juillet 2006, il porte maintenant le nom de Météosat 9.
Les satellites de seconde génération sont actuellement les plus performants au monde dans le domaine de l'imagerie météorologique. Ils assureront jusqu'en 2018 la fourniture de données météorologiques, climatiques et environnementales.
L'objectif de cet exercice est d'étudier plusieurs étapes de la mise en orbite de ce satellite.
Certaines aides au calcul peuvent comporter des résultats ne correspondant pas au calcul à effectuer.
Partie 1. Décollage de la fusée Ariane 5
Pour ce lancement, la fusée Ariane 5 a une masse totale M. Sa propulsion est assurée par un ensemble de dispositifs fournissant une force de poussée verticale constante F. Tout au long du décollage, on admet que la valeur du champ de pesanteur g est également constante. On étudie le mouvement du système { fusée } dans le référentiel terrestre supposé galiléen et on choisit un repère ( O, i, j) dans lequel est un vecteur unitaire vertical dirigé vers le haut et porté par l’axe Oy.
À l'instant t0 = 0 s, Ariane 5 est immobile et son centre d'inertie G est confondu avec l'origine O.
On utilise les notations :
a valeur de l'accélération du centre d'inertie de la fusée, avec 
v valeur de la vitesse de son centre d'inertie, avec 
y valeur de la position de son centre d'inertie, avec 
Données :
- Masse totale de la fusée M = 7,3 10 5 kg ;
- Force de poussée F = 1,16 10 7 N ;
- Intensité de pesanteur g = 10 m.s – 2 .
1.1. Cas idéal
Dans ce cas, on supposera que seuls le poids P et la force de poussée F agissent sur la fusée. Pendant la durée de fonctionnement, on admettra que la masse de la fusée reste constante.
1.1.1. Sans faire de calcul, représenter ces forces sur un schéma pendant le décollage.
1.1.2. En appliquant une loi de Newton au système { fusée }, trouver l'expression littérale de la valeur a de l'accélération dès que la fusée a quitté le sol.
1.1.3. Calculer la valeur de cette accélération a.
1.1.4. Pendant le lancement, on suppose que la valeur de l'accélération reste constante.
Déterminer l'équation horaire de la valeur v(t) de la vitesse.
1.1.5. En déduire l'équation horaire de la valeur y(t) de la position.
1.1.6. La trajectoire ascensionnelle de la fusée reste verticale jusqu’à la date t1 = 6,0 s.
Quelle distance la fusée a-t-elle parcourue depuis son décollage ?
1.2. Cas réel
Au cours de ce lancement, Ariane 5 a en fait parcouru un peu moins de 90 m pendant les 6 premières secondes.
Citer un phénomène permettant d’interpréter cette donnée.
Dans la suite de l'exercice, on suppose que la Terre est une sphère de centre T, de masse MT , de rayon RT et qu'elle présente une répartition de masse à symétrie sphérique. On assimile par ailleurs le satellite à son centre d'inertie S. L’étude de son mouvement se fait dans un référentiel géocentrique supposé galiléen.
Données :
- Masse de la Terre : MT = 6,0 10 24 kg ;
- Rayon de la Terre : RT = 6,4 10 3 km ;
- Constante de gravitation universelle : G = 6,67 10 –11 kg –1 . m3.s-2 .
Partie 2. Transfert du satellite en orbite géostationnaire
Une fois le satellite MSG-2 placé sur son orbite circulaire basse, on le fait passer sur une orbite géostationnaire à l'altitude h' = 3,6 10 4 km. Ce transit s'opère sur une orbite de transfert qui est elliptique. Le schéma de principe est représenté sur la figure 6
Le périgée P est sur l'orbite circulaire basse et l'apogée A est sur l'orbite définitive géostationnaire.
À un moment convenu, lorsque le satellite est au point P de son orbite circulaire basse, on augmente sa vitesse de façon bien précise : il décrit ainsi une orbite elliptique de transfert afin que l'apogée A de l'ellipse soit sur l'orbite géostationnaire définitive. On utilise pour cela un petit réacteur qui émet en P, pendant un très court instant, un jet de gaz donnant au satellite l'impulsion nécessaire.
3.1. Énoncer la deuxième loi de Kepler, ou "loi des aires".
3.2. Montrer, en s’aidant éventuellement d’un schéma, que la vitesse du satellite MSG-2 n'est pas constante sur son orbite de transfert. Préciser en quels points de son orbite de transfert sa vitesse est :
- Maximale ;
- Minimale.
3.3. Exprimer la distance AP en fonction de RT, h et h'. Montrer que AP = 4,910 7 m.
3.4. Dans le cas de cette orbite elliptique, la durée de révolution pour faire un tour complet de l’orbite vaut T ’ = 10h 42min.
Déterminer la durée minimale Dt du transfert du satellite MSG-2 du point P de son orbite basse au point A de son orbite géostationnaire définitive.
3.5. Le satellite étant arrivé au point A, on augmente à nouveau sa vitesse pour qu'il décrive ensuite son orbite géostationnaire définitive. Le lancement complet du satellite est alors achevé et le processus permettant de le rendre opérationnel peut débuter.
Expliquer pourquoi il est judicieux de lancer les satellites géostationnaires d’un lieu proche de l’équateur comme Kourou en Guyane.
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