Chapitres
L'équation de d'Alembert est une équation aux dérivées partielles qui apparaît dans le contexte des équations d'ondes en physique mathématique. Elle est utilisée pour décrire la propagation d'une onde dans un milieu continu, comme une corde vibrante ou une membrane élastique.
👨🏫 L'équation de d'Alembert prend souvent la forme de l'équation des ondes à une dimension :
\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} - c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = 0
Où :
u est la fonction d'onde
t est le temps
x est la position dans l'espace
c est la vitesse de propagation de l'onde
📡 Cette équation traduit la manière dont la déformation de l'onde évolue dans le temps et l'espace, en tenant compte des caractéristiques du milieu. Elle a été formulée par le mathématicien français Jean le Rond d'Alembert au 18e siècle.
L'équation d'onde de d'Alembert 👨⚕️
L'équation d'ondes de d'Alembert est une équation aux dérivées partielles utilisée pour modéliser la propagation d'ondes dans un milieu continu, comme une corde vibrante ou un champ électromagnétique. Elle a été formulée par le mathématicien français Jean le Rond d'Alembert au 18e siècle.
✍️ L'équation prend généralement la forme suivante pour une onde se propageant le long d'un axe spatial unidimensionnel x et variant avec le temps t :
\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} - c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = 0
Dans cette équation, u(x,t) représente la fonction d'onde, décrivant la déformation ou la variation d'une grandeur physique dans le temps et l'espace.
La première partie de l'équation exprime l'accélération de la grandeur par rapport au temps,
La seconde partie représente la variation spatiale de la grandeur, modulée par la vitesse de propagation c de l'onde
🧑🔬 L'équation de d'Alembert est fondamentale en physique mathématique, permettant de modéliser divers phénomènes ondulatoires et de prédire leur comportement dans différents contextes scientifiques, notamment en acoustique, en optique, et dans la mécanique des milieux continus.
Les familles de propagation d'ondes pour l'équation de d'Alembert 📡
Une onde se propage dans un milieu qui le lui permet car la propagation résulte de la mise en mouvement d’une particule dans le temps mais aussi dans l’espace par rapport au milieu. Cela est possible uniquement si la source est dans un état vibratoire. On peut caractériser la propagation d’une onde par sa vitesse de propagation à l’aide la formule suivante :
Avec :
- c la célérité de l’onde ;
- λ la longueur d’onde ;
- f la fréquence de l’onde.
Remarque : La vitesse de la lumière est de 300 000 km.s-1 et la célérité d’une onde sonore est de 344 m.s-1
Propagation d'une onde sonore
👂 Lorsque l'onde se propage dans un milieu fluide compressible, il est possible d'observer une variation de pression qui va alors se propager sous la forme d'une onde. L'air nous entourant étant un milieu fluide compressible, il est alors possible de ressentir ces ondes sous la forme de son que l'on perçoit grâce aux tympans.
💥 Cependant, pour qu'elle soit perceptible, il faut que la variation de pression, parce que son amplitude est faible par rapport à la pression atmosphérique, soit suffisamment rapide et répétée. Il est possible de considérer tout objet vibrant, tel qu'un instrument de musique ou encore un haut-parleur, comme étant une source sonore qui est donc, comme son nom l'indique, la source des vibration de l'air. La perturbation va alors se propager, même si les particules oscillent très peu (soit quelques micromètres autour d'une position stable), d'une façon analogue aux perturbations de l'eau lorsqu'une pierre y tombe : on peut observer des vagues qui s'éloignent peu à peu du point de perturbation bien que l'eau reste au même endroit.
- En effet, l'eau ne se déplace que verticalement et ne suit pas les vagues (il est possible d'observer ce phénomène en plaçant un objet flottant près de la perturbation : il ne restera à la même position)
- On peut alors dire que, dans les fluides, l'onde sonore correspond à une onde longitudinale. Ainsi, les particules observées vibrent de façon parallèle à la direction de déplacement de l'onde. Une onde sonore peut également être transmise par un solide vibrant
- En effet, la vibration va se propager au sein du solide comme dans les fluides : il y aura de faibles oscillation autour de la position d'équilibre des atomes constituant le solide.
La conséquence est alors une contrainte du matériau qui, équivalente à la pression dans un fluide, est très difficile à mesurer. C'est donc la rigidité du matériau qui permettra la transmission des ondes de contraintes transversales.
📢 Il peut être intéressant de noter que, la vitesse de propagation du son, également appelée "célérité", varie selon différentes propriétés du milieu comme :
- La nature du milieu
- La température du milieu
- Et la pression du milieu
Ainsi, dans un gaz parfait, on peut obtenir la vitesse de propagation d'une onde sonore avec la relation suivante :
Avec :
- ρ correspondant à la masse volumique du gaz ;
- Et χS correspondant à la compressibilité isentropique du gaz.
Il est également possible d'observer une diminution de la vitesse du son lorsque :
- La densité du gaz augmente, on appelle cela l'effet d'inertie ;
- La compressibilité du gaz, c'est à dire sa capacité à changer de volume selon la pression qu'il subit, augmente.
Propagation d'une onde électromagnétique
🤓 L'onde électromagnétique :
Lorsqu'elle se trouve dans un milieu homogène et isotrope, va se propager en ligne droite et subir une diffraction
Lorsqu'elle va rencontrer un obstacle et subir la réflexion et la réfraction lorsqu'elle va changer de milieu
La réfraction
Définition : La réfraction de la lumière correspond au changement de direction du rayon lumineux lorsque celui-ci traverse une surface séparant deux milieux d'indices de réfraction différents.
🔦 La loi de Snell-Descartes de la réfraction exprime le changement de direction d'un faisceau lumineux lors de la traversée d'une paroi qui sépare deux milieux différents. Il faut d'abord savoir que chaque milieu est caractérisé par sa capacité à « ralentir » la lumière.
On modélise cette caractéristique par son indice de réfraction n qui s'exprime sous la forme :
Où v est la vitesse de la lumière dans ce milieu et c est la vitesse de la lumière dans le vide (souvent arrondie à 3.108 m.s-1
⚠️ Il est important de savoir que :
- Le rayon lumineux est dit incident avant d'avoir rencontré la surface réfractante (appelée dioptre), il est dit réfracté après avoir rencontré cette dernière.
- Le point de rencontre du rayon incident et du dioptre est appelé point d'incidence.
- Le plan contenant le rayon incident et la normale au dioptre, au point d'incidence est dit plan d'incidence.
- L'angle orienté i1 pris entre la normale au point d'incidence et le rayon incident est dit angle d'incidence.
- L'angle orienté i2 pris entre la normale au point d'incidence et le rayon réfracté est dit angle de réfraction.
- Les angles i1 et i2 sont positifs si ils sont orientés dans le sens trigonométrique (sens inverse des aiguilles d'une montre), négatifs sinon.
On prend n1 l'indice de réfraction du milieu dans lequel se propage le rayon incident et n2 celui du milieu dans lequel se propage le rayon réfracté.
✍️ Pour pouvoir énoncer la loi de la réfraction, il faut que le rayon réfracté, le rayon incident et la normale (au dioptre) soient dans un même plan qui est appelé le plan d'incidence et que le rayon incident et le rayon réfracté soient situés de part et d'autre de la normale.
- Lorsque n1 > n2 (et respectivement n1 < n2), le rayon réfracté (et respectivement : incident) se rapproche plus rapidement du dioptre que le rayon incident (ou réfracté)
- Cependant, il existe un cas particulier où le rayon réfracté (ou incident) se retrouve mathématiquement sur le dioptre (sa limite) : il y a alors réflexion totale
Mise en situation : la réfraction atmosphérique
☄️ La réfraction atmosphérique correspond à un phénomène optique consistant en une trajectoire non rectiligne de la lumière lorsque celle-ci traverse l'atmosphère. Cela est principalement dû à une variation de la densité de l'air avec l'altitude.
L’atmosphère est la couche de gaz qui entoure la Terre. Cette dernière joue un rôle de protection en nous protégeant de ce qui se trouve au delà, dans l’espace, comme les rayons du soleil ou les corps étrangers. L’air que contient l’atmosphère est constitué à 78 % de diazote, de 21 % de dioxygène et le dernier pourcent représente une multitude d’autres gaz tels que le méthane, l’ozone, le dioxyde de carbone, l’argon, néon, krypton, xénon, etc.
🌍 Ainsi, pour tous les objets dits immergés dans l'atmosphère, le phénomène se renomme réfraction terrestre. Ce sont d'ailleurs ces réfractions terrestres qui conduisent aux mirages mais aussi aux effets de miroitement et d'ondulation en ce qui concerne les objets lointains. De ce fait, en astronomie d'observation, la réfraction atmosphérique peut provoquer des erreurs en ce qui concerne l'évaluation de la position angulaire réelle de l'astre qui est observé. En effet, cet astre sera observé plus haut dans le ciel qu'il ne l'est dans sa position réelle.
👉 C'est pour cela qu'il est nécessaire, voire obligatoire, d'observer une correction de hauteur, également appelé de réfraction atmosphérique
Cependant, il faut savoir que ce phénomène ne se contente pas d'affecter les rayons lumineux mais, de façon plus générale, il impacte toutes les ondes électromagnétiques. De fait de sa relation avec la longueur d'onde, on appelle cela le "phénomène de dispersion", la lumière bleue sera plus fortement affectée par le phénomène que le serait la lumière rouge.
☀️ Un autre phénomène bien connu, l'observation du Soleil sous forme oblongue, donc légèrement aplati, lorsqu'il est à l'horizon, est un autre phénomène provoqué par la réfraction atmosphérique. Ce phénomène est d'ailleurs également observable pour la Lune.
🤔 Notons cependant que la réfraction atmosphérique est beaucoup plus importante pour tout objets proche de l'horizon par rapport aux objets qui seront plus près du zénith
Nous avons vu que la réfraction atmosphérique était due à la déviation des rayons lumineux par des couches d'air de température différentes :
- En effet, au sein de ces couches, l'indice de réfraction de l'air n'est pas constante puisque celui-ci peut évoluer en fonction de la température, de la pression atmosphérique mais aussi en fonction de l'humidité et de la composition de l'air
- De ce fait, les couches d'air froid sont plus denses que les couches d'air chaud et leur indice de réfraction est donc plus élevé puisque celui-ci évolue de façon proportionnelle à la pression mais de façon inversement proportionnelle à la température
- La superposition de couches d'air de plus en plus chaudes ou, au contraire, de plus en plus froides, va provoquer la création d'un gradient de température mais aussi de pression et par conséquence d'indice de réfraction pour l'air
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