Chapitres
- 01. Présentation
- 02. Notions utiles et définitions
- 03. Analyse
- 04. Valider ses résultats
Présentation
La loi de Hagen-Poiseuille, parfois appelée uniquement loi de Poiseuille est une loi en mécanique des fluides qui décrit l'écoulement laminaire d'un fluide avec une certaine viscosité et ce dans un tube cylindrique. Cette découverte est est le fruit des travaux de l'ingénieur allemand Gotthif Hagen et d'un physicien français, Jean-Léonard-Marie Poiseuille. La première découverte de cette loi date de 1840.
Gotthilf Hagen
Gotthilf Hagen est un prussien ayant vécu de 1797 à 1884. Ce scientifique de renom était connu pour des travaux dans de multiples domaines comme le génie civile et maritime, sans oublier les sciences hydrauliques et la mécanique des fluides. Après avoir étudié les mathématiques et l'astronomie, Hagen finit par se spécialiser en génie civile et en architecture. Il a aidé la Prusse à construire de nombreux ports et de nombreux monuments. Durant la guerre, il sera même à l'origine du port de Wilhelmshaven. En 1839, il découvrira les lois sur l'écoulement laminaire et ce en même temps que son homologue français Poiseuille, alors que les deux scientifiques ne se connaissaient même pas.
Jean-Léonard-Marie Poiseuille
Jean-Léonard-Marie Poiseuille est un physicien et médecin français ayant vécu de 1797 à 1869. Il a mis en commun ses recherches en médecine et en mécanique des fluides afin de sortir plusieurs ouvrages sur le cœur et la circulation sanguine. Il est aussi à l'origine de la loi de Poiseuille, qui décrit les écoulements laminaires dans son mémoire Le Mouvement des liquides dans les tubes de petits diamètres. Il fut le premier à montrer comment mesurer la pression sanguine dans sa thèse de doctorat sur la force du cœur aortique.
Notions utiles et définitions
La viscosité
On appelle viscosité l'ensemble des phénomènes de résistance à l'écoulement qui peuvent se produire dans la masse d'une matière dans le cas d'un écoulement que l'on considère comme étant uniforme et sans turbulence. De façon logique, plus le viscosité sera élevée, plus la capacité que possède le fluide à s'écouler facilement va diminuer. De plus, lorsque la viscosité est élevée, l'énergie qui sera dissipée par l'écoulement sera importante. La viscosité de cisaillement, qui peut être comprise comme une résistance à l'écoulement des différentes couches d'un fluide les unes sure les autres, englobe plusieurs grandeurs physiques qui permettent de la caractériser :
- La viscosité dynamique qui est la grandeur la plus utilisée. En effet, on se réfère généralement à cette grandeur lorsque l'on parle de viscosité sans précision. Elle permet de faire le lien entre la contrainte de cisaillement et le gradient transversal de la vitesse d'écoulement dans la matière. C'est donc pour cela que l'on appelle cette grandeur vitesse dynamique.
- La viscosité cinématique, cette grandeur peut être déduise de la vitesse dynamique ;
- La seconde viscosité qui caractérise la résistance du fluide à des variations de volume ;
- Et pour finir, la viscosité de volume qui correspond à la combinaison de la viscosité dynamique et la seconde viscosité.
De ce fait, on peut considérer la viscosité comme correspondant à une quantité tensorielle bien qu'il reste possible que, selon les cas, on puisse exprimer cette grandeur sous la forme d'une grandeur scalaire. La viscosité (de cisaillement) peut être vue comme la résistance à l'écoulement des différentes couches d'un fluide les unes sur les autres. Plusieurs grandeurs physiques caractérisent la viscosité : En ce qui concerne les liquides, alors que l'inverse est vrai pour les gaz, la viscosité va tendre, de façon générale, à diminuer lorsque la température va augmenter. De plus, croire que la viscosité d'un fluide donné augmente avec la densité est faux car ce n'est pas nécessairement vrai. On peut en effet prendre l'exemple de l'huile qui, pourtant moins dense que l'eau (0,92 pour l'huile de Colza à 20°C et 1 pour l'eau à 20°C) alors que l'huile est, de façon très nette, plus visqueuse que l'eau.
Pour ce qui est des huiles de mécaniques, elles seront classer selon leur viscosité puisque l'huile utilisée dans les moteurs va varier selon les besoin de lubrifications de celui-ci mais aussi selon les température auxquelles l'huile mécanique sera soumise lorsque le moteur sera en marche.
La viscosité dynamique
La viscosité dynamique peut alors être définie en considérant deux couches d'un fluide que l'on nommera abcd et a'b'c'd' en sachant que la couche abcd est animée d'une vitesse relative à a'b'c'd' que l'on notera dv qui sera dirigée selon x. On considère également une force de frottement notée F comme s'exerçant sur la couche a'b'c'd' séparée de dz. Ainsi, la viscosité dynamique, que l'on note η ou µ, est présente au sein de la relation entre la norme de la force de frottement F et le taux de cisaillement dv/dz. On à obtient alors : 
avec S correspondant à la surface de chaque couche de liquide. L'analyse dimensionnelle de la viscosité dynamique donne donc, de façon logique : 
Si on souhaite utiliser les unités du système international d'unité, la viscosité dynamique possède la pascals secondes, noté Pa.s, en unité. Auparavant, on utilisé le poiseuille, noté Pl, qui présentait la même valeur que le pascals secondes. Une ancienne unité du système CGS pour la viscosité dynamique était la poise, notée Po, donc la correspondance était : 
Ainsi, la viscosité de l'eau à 20°C correspond à 1 centipoise, noté cPo, ce qui correspond à 1 mPa.s.
La fluidité
La fluidité correspond à l'inverse de la viscosité dynamique
La viscosité cinématique
Il est possible d'obtenir la viscosité cinématique, noté ν, en divisant la discosité dynamique par la masse volumique, notée ρ, du fluide. On obtient alors la relation suivante : 
Son unité, le mètre carré par seconde, noté n².s-1, correspondant, dans l'ancien système CGS comme étant le stokes ou centistokes notés respectivement St et cSt. La conversion est très rapide car : 
et 
La seconde viscosité
La seconde viscosité correspond au second paramètre scalaire qui permet de caractériser de façon complète un fluide considéré comme étant newtonien. Elle est cependant omise dans la littérature puisque, pour la plupart des fluides usuels, il manque la caractérisation des fluides en ce qui concerne leur approximation newtonienne.
La viscosité de volume
La viscosité de volume correspond à une fonction linéaire des viscosités principale et seconde viscosité. On a ainsi : 
La viscosité élongationnelle
On considère la viscosité élongationnelle comme étant une viscosité qui apparaît lorsqu'une contrainte élongationnelle s'applique au fluide étudié.
L'écoulement laminaire
Généralités
Quand on parle d'écoulement laminaire en mécanique des fluides, on évoque le mode d'écoulement d'un fluide dans le cas où l'ensemble du fluide s'écoule plus ou moins dans la même direction et cela sans que les différences locales ne se contrarient. On est alors en opposition au régime turbulent au cours duquel l'écoulement produit des tourbillons qui vont mutuellement se contrarier. Ainsi, lorsque l'on cherche à faire circuler un fluide dans un tuyau, on cherche à mettre en place un écoulement laminaire afin qu'il y ait moins de pertes de charge. Mais on cherche aussi à mettre en place un écoulement laminaire lorsque l'on cherche à faire voler un avion afin que le vol soit stable et prévisible à l'aide d'équations.
L'écoulement laminaire d'un point de vue microscopique
Lorsque l'on observe un écoulement laminaire à l'échelle microscopique, on peut observer que deux particules de fluides qui sont voisines à un instant défini resteront voisines lors des prochains moments d'observation. De par cette observation, on peut décrire un champ de vitesse grâce à l'utilisation de techniques classiques d'analyse mathématique. Dans le cas où l'écoulement devient turbulent, celui-ci devient alors sans organisation apparente. Les techniques classiques d'analyse mathématique utilisées précédemment ne suffisent alors plus pour décrire le champ de vitesse.
L'écoulement laminaire d'un point de vue macroscopique
Tout comme la notion de régime turbulent, la notion de régime laminaire est très fortement liée à la viscosité du fluide en mouvement. En effet, lorsque le liquide se situe dans une conduite ou autour d'un obstacle, alors, au voisinage d'une paroi sur laquelle la vitesse relative du fluide est nulle, on peut alors observer l'apparition de fortes variations de vitesse au sein desquelles la viscosité est impliquée. De façon plus précise, on peut dire que l'écoulement visqueux est caractérisé grâce à un nombre sans dimension que l'on appelle le nombre de Reynolds. Ce nombre permet alors de mesurer l'importance relative des forces inertielles qui sont liées à la vitesse et des forces de frottement qui sont liées à la viscosité. Ainsi, si ces dernières sont prépondérantes, alors on peut dire que le frottement, qui se produit entre deux couches de fluides, maintient leur cohésion : on obtient ainsi un écoulement laminaire. Dans le cas où le nombre de Reynolds augmente au-delà d'un certain seuil, alors l'écoulement est déstabilisé. Dans ce cas, il peut y avoir un régime turbulent qui va se mettre en place après qu'une phase de transition, plus ou moins importante, ait eu lieu.
Le nombre de Reynolds
Le nombre de Reynolds, noté Re, correspond à un nombre sans dimension qui est utilisé en mécanique des fluides. Cette grandeur permet alors de caractériser un écoulement, en particulier la nature de son régime. Il est ainsi possible de savoir si un écoulement est laminaire, transitoire ou turbulent.
L'écoulement laminaire dans le cas d'un corps profilé dans l'air
Puisque la viscosité de l'air est beaucoup plus faible que la viscosité de l'eau, on peut alors conclure que son effet est, par la même façon, plus faible et ne se limite qu'à la zone proche de la paroi dans laquelle on peut observer que la vitesse varie forcement. On appelle alors cette zone d'effet la couche limite. Ainsi, lorsque l'on se situe à une distance suffisante de la paroi, on peut observer que les variations deviennent suffisamment faible pour que l'on puisse négliger la viscosité. De ce fait, on peut considérer le fluide comme étant parfait lorsqu'il se situe autour de l'obstacle auquel on ajoute la couche limite. A cela il est possible d'ajouter que, au bord d'attaque d'une aile, puisque la vitesse relative est nulle, la viscosité reste sans effet. La couche limite laminaire fini par devenir une couche turbulente. Néanmoins, la partie de cette couche proche de la paroi constitue un film laminaire.
Analyse
- Dans le cas d'un fil électrique, un courant circule dans ce fil à cause de la différence de potentiel entre les extrémités du fil. Pour un conducteur ohmique, la résistance électrique qui est le rapport entre la différence de potentiel et l'intensité électrique, exprime la résistance à l'avancement des électrons dans le fil.
- Dans la cas d'une canalisation, on définira par analogie la résistance hydraulique comme le rapport entre la différence des pressions aux extrémités de la canalisation et le débit massique.
- Pour un écoulement homogène stationnaire d'un fluide sans viscosité, le théorème de Bernoulli montre que l'écoulement n'est pas lié à une différence de pression entre les extrémités de la canalisation. La résistance hydraulique est donc nulle.
- Une cause de la résistance hydraulique PEUT être la viscosité du fluide, c'est ce que nous allons mettre en évidence. La résistance sera donc une fonction croissante de la viscosité.
Valider ses résultats
- On montrera plus loin que le modèle choisi est pertinent pour de faibles vitesses, faibles diamètres et forte viscosité (nombre de Reynolds pour un canalisation Re < 2000 => écoulement laminaire). Voir les diagrammes de Moody/Colebrook
- ll faut noter la différence fondamentale entre résistance hydraulique et résistance électrique : la résistance hydraulique augmente beaucoup plus rapidement que la résistance électrique quand le rayon diminue. On peut remplacer un fil électrique par N fils en gardant la même section globale, en hydraulique non.
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