Chapitres
La viscosité
Vous avez sûrement déjà prononcé ces mots et pourtant vous ne saurez décrire et définir correctement ce qu'est la viscosité d'un matériau. Au fil de ce cours, nous allons éclaircir cette notion afin que vous soyez incollable à ce sujet.
On appelle viscosité l'ensemble des phénomènes de résistance à l'écoulement qui peuvent se produire dans la masse d'une matière dans le cas d'un écoulement que l'on considère comme étant uniforme et sans turbulence. De façon logique, plus le viscosité sera élevée, plus la capacité que possède le fluide à s'écouler facilement va diminuer. De plus, lorsque la viscosité est élevée, l'énergie qui sera dissipée par l'écoulement sera importante. La viscosité de cisaillement, qui peut être comprise comme une résistance à l'écoulement des différentes couches d'un fluide les unes sure les autres, englobe plusieurs grandeurs physiques qui permettent de la caractériser :
- La viscosité dynamique qui est la grandeur la plus utilisée. En effet, on se réfère généralement à cette grandeur lorsque l'on parle de viscosité sans précision. Elle permet de faire le lien entre la contrainte de cisaillement et le gradient transversal de la vitesse d'écoulement dans la matière. C'est donc pour cela que l'on appelle cette grandeur vitesse dynamique.
- La viscosité cinématique, cette grandeur peut être déduise de la vitesse dynamique ;
- La seconde viscosité qui caractérise la résistance du fluide à des variations de volume ;
- Et pour finir, la viscosité de volume qui correspond à la combinaison de la viscosité dynamique et la seconde viscosité.
De ce fait, on peut considérer la viscosité comme correspondant à une quantité tensorielle bien qu'il reste possible que, selon les cas, on puisse exprimer cette grandeur sous la forme d'une grandeur scalaire. La viscosité (de cisaillement) peut être vue comme la résistance à l'écoulement des différentes couches d'un fluide les unes sur les autres. Plusieurs grandeurs physiques caractérisent la viscosité: En ce qui concerne les liquides, alors que l'inverse est vrai pour les gaz, la viscosité va tendre, de façon générale, à diminuer lorsque la température va augmenter. De plus, croire que la viscosité d'un fluide donné augmente avec la densité est faux car ce n'est pas nécessairement vrai. On peut en effet prendre l'exemple de l'huile qui, pourtant moins dense que l'eau (0,92 pour l'huile de Colza à 20°C et 1 pour l'eau à 20°C) alors que l'huile est, de façon très nette, plus visqueuse que l'eau. Pour ce qui est des huiles de mécaniques, elles seront classer selon leur viscosité puisque l'huile utilisée dans les moteurs va varier selon les besoin de lubrifications de celui-ci mais aussi selon les température auxquelles l'huile mécanique sera soumise lorsque le moteur sera en marche.
Description des différentes viscosités
La viscosité dynamique
La viscosité dynamique peut alors être définie en considérant deux couches d'un fluide que l'on nommera abcd et a'b'c'd' en sachant que la couche abcd est animée d'une vitesse relative à a'b'c'd' que l'on notera dv qui sera dirigée selon x. On considère également une force de frottement notée F comme s'exerçant sur la couche a'b'c'd' séparée de dz. Ainsi, la viscosité dynamique, que l'on note η ou µ, est présente au sein de la relation entre la norme de la force de frottement F et le taux de cisaillement dv/dz. On à obtient alors : 
avec S correspondant à la surface de chaque couche de liquide. L'analyse dimensionnelle de la viscosité dynamique donne donc, de façon logique : 
Si on souhaite utiliser les unités du système international d'unité, la viscosité dynamique possède la pascals secondes, noté Pa.s, en unité. Auparavant, on utilisé le poiseuille, noté Pl, qui présentait la même valeur que le pascals secondes. Une ancienne unité du système CGS pour la viscosité dynamique était la poise, notée Po, donc la correspondance était : 
Ainsi, la viscosité de l'eau à 20°C correspond à 1 centipoise, noté cPo, ce qui correspond à 1 mPa.s.
La fluidité
La fluidité correspond à l'inverse de la viscosité dynamique
La viscosité cinématique
Il est possible d'obtenir la viscosité cinématique, noté ν, en divisant la discosité dynamique par la masse volumique, notée ρ, du fluide. On obtient alors la relation suivante : 
Son unité, le mètre carré par seconde, noté n².s-1, correspondant, dans l'ancien système CGS comme étant le stokes ou centistokes notés respectivement St et cSt. La conversion est très rapide car : 
et 
La seconde viscosité
La seconde viscosité correspond au second paramètre scalaire qui permet de caractériser de façon complète un fluide considéré comme étant newtonien. Elle est cependant omise dans la littérature puisque, pour la plupart des fluides usuels, il manque la caractérisation des fluides en ce qui concerne leur approximation newtonienne.
La viscosité de volume
La viscosité de volume correspond à une fonction linéaire des viscosités principale et seconde viscosité. On a ainsi : 
La viscosité élongationnelle
On considère la viscosité élongationnelle comme étant une viscosité qui apparaît lorsqu'une contrainte élongationnelle s'applique au fluide étudié.
Le système d'unité international
L'ensemble des unités associées aux dimensions fondamentales constitue le système international d'unités. Il s'agit du système MksA (mètre, kilogramme, seconde, Ampère), mais le Kelvin, le mole et le candela font aussi partie de ce système. Ces unités sont appelées unités légales. Elles sont universelles et connues de par le monde entier.
Il est important de savoir que toutes les autres dimensions se déduisent de ces sept dimensions fondamentales par produit ou division de ces dimensions.
Dans certains sujets d'exercices, les grandeurs ne sont pas exprimées dans le système international mais avec des grandeurs usuelles. Il est facile de les comprendre et elles sont parfois utilisées dans la vie de tous les jours, mais il est essentiel de toujours effectuer les calculs avec les grandeurs exprimées dans l'unité internationale pour éviter les erreurs. Par exemple, la pression est souvent exprimée en Bar. Or, dans le système international, la pression s'exprime en Pascal !
L'influence de la température sur la viscosité
La température influence également la viscosité d'un fluide et nous vous expliquerons ici dans quelles circonstances la température peut l'influencer.
Comme expliqué précédemment, la viscosité d'un fluide varie selon la température, mais aussi les actions mécaniques auxquelles ce fluide est soumis. Ainsi, afin de déterminer l'importance de l'effet de la température sur la viscosité d'un fluide, on va utilisé un indice appelé indice de viscosité. De façon logique, plus cet indice est grand, moins la température aura une influence sur la viscosité du fluide étudié. Pour ce qui est des gaz, il est très courant d'utiliser la loi de Sutherland qui se définie ainsi : 
Avec :
- η0 = η(T0) correspondant à la viscosité à la température T0 ;
- Et S la température de Sutherland.
Dans le cas de l'air, si l'on prend :
- η0 = 1,715 . 10-5 Pa.s ;
- T0 = 273,15 K ;
- Et S = 110,4 K.
On obtient une approximation correcte si l'on reste sur une plage de température comprise entre 170 K et 1 900 K environ.
| Corps | Température en °C | Viscosité en Pa.s |
|---|---|---|
| Fluide parfaitement défini | ||
| Dihydrogène | 0 | 8,4.10-6 |
| 50 | 9,3.10-6 | |
| 100 | 10,3.10-6 | |
| Air | 0 | 1,71.10-5 |
| 50 | 1,94.10-5 | |
| 100 | 2,20.10-5 | |
| Xénon | 0 | 2,12.10-5 |
| Eau | 0 | 1,793.10-3 |
| 20 | 1,002.10-3 | |
| 50 | 0,5470.10-3 | |
| 100 | 0,2818.10-3 | |
| Glace | -13 | 15.1012 |
| Fluide de la vie courante | ||
| Bitume | 20 | 108 |
| Miel | 20 | 101 |
| Huilde d'olive | 20 | de 0,081 à 0,1 |
| Café crème | 20 | 10-2 |
| Sang | 37 | de 4.10-3 à 25.10-3 (généralement 6.10-3) |
| Corps | Température en °C | Viscosité en cSt |
|---|---|---|
| Huile | 40 | entre 20 et 60 |
Propagation d'une onde au sein d'un fluide
Lorsque l'onde se propage dans un milieu fluide compressible, il est possible d'observer une variation de pression qui va alors se propager sous la forme d'une onde. En prenant l'exemple des sons dans l'aire, puisque celui nous entourant étant un milieu fluide compressible, il est alors possible de ressentir ces ondes sous la forme de son que l'on perçoit grâce aux tympans. Cependant, pour qu'elle soit perceptible, il faut que la variation de pression, parce que son amplitude est faible par rapport à la pression atmosphérique, soit suffisamment rapide et répétée. Il est possible de considérer tout objet vibrant, tel qu'un instrument de musique ou encore un haut-parleur, comme étant une source sonore qui est donc, comme son nom l'indique, la source des vibration de l'air. La perturbation va alors se propager, même si les particules oscillent très peu (soit quelques micromètres autour d'une position stable), d'une façon analogue aux perturbations de l'eau lorsqu'une pierre y tombe : on peut observer des vagues qui s'éloignent peu à peu du point de perturbation bien que l'eau reste au même endroit. En effet, l'eau ne se déplace que verticalement et ne suit pas les vagues (il est possible d'observer ce phénomène en plaçant un objet flottant près de la perturbation : il ne restera à la même position). On peut alors dire que, dans les fluides, l'onde sonore correspond à une onde longitudinale. Ainsi, les particules observées vibrent de façon parallèle à la direction de déplacement de l'onde.
La loi de Poiseuille
La loi de Poiseuille, que l'on appelle aussi loi de Hagen-Poiseuille, permet de décrire ce que l'on appelle écoulement laminaire, c'est à dire un écoulement sous la forme de filets de liquide parallèles, d'un liquide visqueux au sein d'une conduite cylindrique. On appelle logiquement écoulement de Poiseuille tout écoulement qui suit une loi de Poiseuille. De façon générale, la loi de Poiseuille permet de décrire de façon théorique la relation existant entre le débit d'un écoulement et la viscosité d'un fluide, mais aussi la différence de pression aux extrémités de la canalisation ainsi que la longueur et le rayon de cette même canalisation.
Le nombre de Reynolds
Le nombre de Reynolds, noté Re, correspond à un nombre sans dimension qui est utilisé en mécanique des fluides. Cette grandeur permet alors de caractériser un écoulement, en particulier la nature de son régime. Il est ainsi possible de savoir si un écoulement est laminaire, transitoire ou turbulent.
Le sang humain
Le sang correspond à un liquide biologique vital qui circule de façon continue au sein des vaisseaux sanguins et le cœur. Cela est notamment possible grâce à la pompe cardiaque. Ce liquide est principalement composé d'un fluide aqueux que l'on appelle le plasma ainsi que de milliards de cellules dont la majorité correspond aux globules rouges ce qui donne donc au sang sa couleur caractéristique. Le sang permet notamment le transport du dioxygène, noté O2, ainsi que les éléments nutritifs nécessaires aux processus vitaux des différents tissus du corps. Mais le sang transporte également les différents déchets du corps comme le dioxyde de carbone, noté CO2, ou encore les différents déchets azotés vers les diverses zones d'évacuation des déchets tels que les reins, les poumons, le foie ou encore les intestins. Le sang a également pour rôle l'acheminement des cellules et des molécules du système immunitaires vers les tissus ou encore la diffusion des hormones à travers l'organisme. Chez un individu adulte, la moelle osseuse va produire les cellules sanguines au cours de l'hématopoïèse. Lorsque le sang se retrouve hors de la moelle, on dit alors que le sang est périphérique.
Exercice : Comment s'écoule le sang dans une artère ?
Un fluide de masse volumique μ et de viscosité dynamique η s’écoule en régime stationnaire et incompressible dans une conduite cylindrique d’axe Oz, de longueur L et de rayon R. Les effets de la pesanteur sont négligés. Du fait des symétries du problème, on cherche en coordonnées cylindriques un champ des vitesses et un champ de pression de la forme : v(M) = v(r,z)uz et p(M) = p(r,z). Les expressions des opérateurs en coordonnées cylindriques sont fournies (formulaire).
- Montrer que v(r,z) ne dépend pas de z.
- Montrer que l'accélération d'une particule de fluide est nulle.
- En déduire que la pression p ne dépend pas de r.
- Déterminer p(z) et vz(r) en admettant que dv/dr est borné. Représenter le profil des vitesses.
- En déduire l’expression du débit volumique Dv en fonction des pressions p(z=0) = p1 à l’entrée et p(z=L) = p2 à la sortie de la conduite. La loi obtenue est la loi de Poiseuille.
- Sachant que le débit du sang dans une veine de 1 cm de diamètre et de longueur 1 m vaut 80 cm3/s, la différence de pression entre les deux extrémités valant 0,10 bar, déterminer la viscosité du sang.
- Faire une analogie entre la loi de Poiseuille et la loi d'ohm. Pouvez-vous définir une résistance hydrolique ?
- Définir puis calculer un nombre de Reynolds associé à cet écoulement puis vérifier que l'écoulement est laminaire. On supposera que la masse volumique du sang est proche de celle de l'eau.
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